Question

對(duì)某校高一年級(jí)學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)抽取M名學(xué)生作為樣本，得到這M名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)根據(jù)此教據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖：

分組	頻數(shù)	頻率	獎(jiǎng)品價(jià)值（元）
[10，25）	5	0.25	20
[15，20）	12	n	40
[20，25）	m	p	60
[25，30）	1	0.05	80
合計(jì)	M	1

（I）求出表中M，p及圖中a的值；
（Ⅱ）學(xué)校決定對(duì)參加社區(qū)服務(wù)的這M名學(xué)生進(jìn)行表彰，對(duì)參加活動(dòng)次數(shù)在[25，30），[20，25），[15，20），[10，15）區(qū)間的學(xué)生依次發(fā)放價(jià)值80元，60元、40元、20元的學(xué)習(xí)用品，在所取樣本中，任意取出2人，并設(shè)X為此二人所獲得用品價(jià)值之差的絕對(duì)值，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E（X）．

Answer 1

解：（I）由題設(shè)知，，，，
∵5+12+m+1=M，
∴M=20，n=0.6，m=2，p=0.1，
∴[15，20]組的頻率與組距之比a為0.12．
（Ⅱ）所取出兩人所獲得學(xué)習(xí)用品價(jià)值之差的絕對(duì)值X可能為0元、20元、40元、60元，
則P（X=0）===，
P（X=20）==，
P（X=40）==，
P（X=60）==，
∴X的分布列為：

X	0	20	40	60
P

∴EX=0×=．
分析：（I）由題設(shè)知，，，，5+12+m+1=M，由此能求出表中M，p及圖中a的值．
（Ⅱ）所取出兩人所獲得學(xué)習(xí)用品價(jià)值之差的絕對(duì)值X可能為0元、20元、40元、60元，分別求出P（X=0），P（X=20），P（X=40），P（X=60）的值，由此能求出X的分布列和EX．
點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是歷年高考的必考題型．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．