Question

64個正數(shù)排成8行8列，如下所示：，其中a_ij表示第i行第j列的數(shù)．已知每一行中的數(shù)依次都成等差數(shù)列，每一列中的數(shù)依次都成等比數(shù)列，且公比均為q，，a₂₄=1，．
（Ⅰ）求a₁₂和a₁₃的值；
（Ⅱ）記第n行各項之和為A_n（1≤n≤8），數(shù)列{a_n}，{b_n}，{c_n}滿足，mb_n+1=2（a_n+mb_n）（m為非零常數(shù)），，且，求c₁+c₂+…+c₇的取值范圍；
（Ⅲ）對（Ⅱ）中的a_n，記，設，求數(shù)列{B_n}中最大項的項數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）輕車熟路的公比，通過a₁₁，a₁₂，a₁₃，a₁₄成等差數(shù)列，求a₁₂和a₁₃的值；
（Ⅱ）設第一行公差為d，求出d，求出（1≤n≤8，n∈N^*，推出．說明{c_n}是等差數(shù)列，推出．即可；
（Ⅲ）對（Ⅱ）中的a_n，記，設，利用數(shù)列的單調(diào)性推出，求出n即可求數(shù)列{B_n}中最大項的項數(shù)．
解答：（共14分）
解：（Ⅰ）因為，所以．
又a₁₁，a₁₂，a₁₃，a₁₄成等差數(shù)列，
所以．…（4分）
（Ⅱ）設第一行公差為d，由已知得，，
解得．
所以．
因為，．
所以，
所以（1≤n≤8，n∈N^*）．…（6分）
因為mb_n+1=2（a_n+mb_n），
所以．
整理得．
而，所以，
所以{c_n}是等差數(shù)列．…（8分）
故．
因為，
所以c₁≠c₇．
所以．
所以，
所以．
所以c₁+c₂+…+c₇的取值范圍是．…（10分）
（Ⅲ）因為是一個正項遞減數(shù)列，
所以當d_n≥1時，B_n≥B_n-1，當d_n＜1時，B_n＜B_n-1．（n∈N^*，n＞1）
所以{B_n}中最大項滿足即…（12分）
解得≤．
又，且n∈N^*，
所以n=7，即{B_n}中最大項的項數(shù)為7．…（14分）
點評：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應用，函數(shù)的函數(shù)特征，考查分析問題解決問題的能力，數(shù)列的單調(diào)性的應用．