Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=，a_n=（n≥2，n∈N^*），數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和Sn，滿足：．
（I）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式a_n，b_n；
（II）設(shè)，①求數(shù)列{b_nc_n}前n項(xiàng)的和Tn，②求數(shù)列前n項(xiàng)的和A_n．

Answer 1

解：（I）因?yàn)閍_n=（n≥2，n∈N^*），
所以，設(shè)，
則d_n-d_n-1=n（n≥2，n∈N^*），d₁=1，
由累加法可得：，故
∵ ①，∴ ②
②-①得=b_n+1，∴b_n+1=-2b_n
把n=1代入①式可得b₁=-2，
∴
（II）由（I）可知==n
①b_nc_n=n•（-2）ⁿ
∴n•（-2）ⁿ
-2n•（-2）ⁿ⁺¹
兩式相減得：（-2）ⁿ-n•（-2）ⁿ⁺¹
==
故所求數(shù)列的前n項(xiàng)和為：
②∵sin1=sin[（n+1）-n]=sin（n+1）cosn-cos（n+1）sinn
∴==
=
故所求數(shù)列的前n項(xiàng)和為：
A_n=[（tan2-tan1）+（tan3-tan2）+…+（tan（n+1）-tann）]
=[tan（n+1）-tann]
分析：（I）把式子變形，構(gòu)造數(shù)列{dn}由累加法可得a_n，由數(shù)列的通項(xiàng)和前n想和的關(guān)系可得b_n；
（II）①由數(shù)列{b_nc_n}的特點(diǎn)，用錯(cuò)位相減法可求和，②式子可化為，下面用裂項(xiàng)相消法可得答案．
點(diǎn)評(píng)：本題為數(shù)列的綜合應(yīng)用，涉及累加法，錯(cuò)位相減法，裂項(xiàng)相消法，屬中檔題．