已知二次函數(shù)f（x）滿足：函數(shù)f（x+1）為偶函數(shù)，f（x）的最小值為-4，函數(shù)f（x）的圖象與x軸交點為A、B，且AB=4，求二次函數(shù)f（x）的解析式．
分析：待定系數(shù)法：設(shè)f（x）=ax2+bx+c（a＞0），由f（x+1）為偶函數(shù)可得a與b的關(guān)系，從而可求得對稱軸，根據(jù)f（x）的最小值為-4，可得a與c的關(guān)系，從而f（x）的系數(shù)可用a表示，令f（x）=0可求得x值，然后表示出點A、B的距離，令其為4可求得a值．
解答：解：設(shè)f（x）=ax2+bx+c（a＞0），
則f（x+1）=a（x+1）2+b（x+1）+c=ax2+（2a+b）x+（a+b+c），
∵函數(shù)f（x+1）為偶函數(shù)，
∴2a+b=0，得b=-2a，
∴函數(shù)f（x）的對稱軸為x=-
b
2a
=1，且f（x）=ax2-2ax+c，
∵f（x）的最小值為-4，
∴f（1）=-4，即a-2a+c=-4，∴c=a-4，
∴f（x）=ax2-2ax+a-4，
由f（x）=ax2-2ax+a-4=0，得x1=1-
4
a
，x2=1+
4
a
，
∴A、B的距離為|x1-x2|=2
4
a
=4，解得a=1，
∴f（x）=x2-2x-3．
點評：本題考查二次函數(shù)解析式的求法及其性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題，深刻理解“三個二次”間的關(guān)系是解決該題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=x2+2（m-2）x+m-m2．
（I）若函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，且滿足f（2）=0，求實數(shù)m的值．
（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間[2，+∞）上為增函數(shù)，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點（0，1），且與x軸有唯一的交點（-1，0）．
（Ⅰ）求f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）-kx，x∈[-2，2]，記此函數(shù)的最小值為g（k），求g（k）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=x2-16x+q+3．
（1）若函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上存在零點，求實數(shù)q的取值范圍；
（2）若記區(qū)間[a，b]的長度為b-a．問：是否存在常數(shù)t（t≥0），當(dāng)x∈[t，10]時，f（x）的值域為區(qū)間D，且D的長度為12-t？請對你所得的結(jié)論給出證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•廣州一模）已知二次函數(shù)f（x）=x2+ax+m+1，關(guān)于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m2的解集為（m，m+1），其中m為非零常數(shù)．設(shè)g(x)=
f(x)x-1
．
（1）求a的值；
（2）k（k∈R）如何取值時，函數(shù)φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在極值點，并求出極值點；
（3）若m=1，且x＞0，求證：[g（x+1）]n-g（xn+1）≥2n-2（n∈N*）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知二次函數(shù)f（x）的圖象與x軸的兩交點為（2，0），（5，0），且f（0）=10，求f（x）的解析式．
（2）已知二次函數(shù)f（x）的圖象的頂點是（-1，2），且經(jīng)過原點，求f（x）的解析式．

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