已知橢圓的離心率為
,且過點
.
(1)求橢圓的方程;
(2)若過點C(-1,0)且斜率為的直線
與橢圓相交于不同的兩點
,試問在
軸上是否存在點
,使
是與
無關(guān)的常數(shù)?若存在,求出點
的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
(1)橢圓方程為。
(2)在x軸上存在點M(), 使
是與K無關(guān)的常數(shù).
解析試題分析:(1)∵橢圓離心率為,
∴,∴
. 1分
又橢圓過點(
,1),代入橢圓方程,得
. 2分
所以. 4分
∴橢圓方程為,即
. 5分
(2)在x軸上存在點M,使
是與K無關(guān)的常數(shù). 6分
證明:假設(shè)在x軸上存在點M(m,0),使是與k無關(guān)的常數(shù),
∵直線L過點C(-1,0)且斜率為K,∴L方程為,
由 得
. 7分
設(shè),則
8分
∵
∴ 9分
=
=
=
= 10分
設(shè)常數(shù)為t,則. 11分
整理得對任意的k恒成立,
解得
, 12分
即在x軸上存在點M(), 使
是與K無關(guān)的常數(shù). 13分
考點:橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì),直線與橢圓的位置關(guān)系,平面向量的數(shù)量積。
點評:中檔題,曲線關(guān)系問題,往往通過聯(lián)立方程組,得到一元二次方程,運用韋達(dá)定理。求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程時,主要運用了橢圓的幾何性質(zhì),建立了a,bac的方程組。(2)作為研究,應(yīng)用韋達(dá)定理,建立了m的函數(shù)式,利用函數(shù)觀點,求得m的值,肯定存在性,使問題得解。
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知圓C:的半徑等于橢圓E:
(a>b>0)的短半軸長,橢圓E的右焦點F在圓C內(nèi),且到直線l:y=x-
的距離為
-
,點M是直線l與圓C的公共點,設(shè)直線l交橢圓E于不同的兩點A(x1,y1),B(x2,y2).
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)求證:|AF|-|BF|=|BM|-|AM|.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓:
的離心率為
,直線
:
與以原點為圓心、以橢圓
的短半軸長為半徑的圓相切.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)橢圓的左焦點為
,右焦點
,直線
過點
且垂直于橢圓的長軸,動直線
垂直
于點
,
線段垂直平分線交
于點
,求點
的軌跡
的方程;
(Ⅲ)設(shè)與
軸交于點
,不同的兩點
在
上,且滿足
,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知、
是橢圓
的左、右焦點,且離心率
,點
為橢圓上的一個動點,
的內(nèi)切圓面積的最大值為
.
(1) 求橢圓的方程;
(2) 若是橢圓上不重合的四個點,滿足向量
與
共線,
與
共
線,且,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知定圓的圓心為
,動圓
過點
,且和圓
相切,動圓的圓心
的軌跡記為
.
(Ⅰ)求曲線的方程;
(Ⅱ)若點為曲線
上一點,試探究直線:
與曲線
是否存在交點? 若存在,求出交點坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(13分)已知橢圓C:(a>b>0)的兩個焦點分別為F1(﹣1,0),F(xiàn)2(1,0),且橢圓C經(jīng)過點
.
(I)求橢圓C的離心率:
(II)設(shè)過點A(0,2)的直線l與橢圓C交于M,N兩點,點Q是線段MN上的點,且,求點Q的軌跡方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
若橢圓C:的離心率e為
, 且橢圓C的一個焦點與拋物線y2=-12x的焦點重合.
(1) 求橢圓C的方程;
(2) 設(shè)點M(2,0), 點Q是橢圓上一點, 當(dāng)|MQ|最小時, 試求點Q的坐標(biāo);
(3) 設(shè)P(m,0)為橢圓C長軸(含端點)上的一個動點, 過P點斜率為k的直線l交橢圓與
A,B兩點, 若|PA|2+|PB|2的值僅依賴于k而與m無關(guān), 求k的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的中心在原點,焦點在軸上,一個頂點為
,且其右焦點到直線
的距離為3.
(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)設(shè)直線過定點,與橢圓交于兩個不同的點
,且滿足
.
求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓:
的焦距為
,離心率為
,其右焦點為
,過點
作直線交橢圓于另一點
.
(Ⅰ)若,求
外接圓的方程;
(Ⅱ)若直線與橢圓
相交于兩點
、
,且
,求
的取值范圍.
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