Question

18．在平面直角坐標系xOy中，B是橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的上頂點，直線y=b與橢圓右準線交于點A，若以AB為直徑的圓與x軸的公共點都在橢圓內(nèi)部，則橢圓的離心率e的取值范圍是（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，1）．

Answer 1

分析 過圓心M作橫軸垂線，垂足為T，圓與橫軸交點為N，H，則MT=b，MH=r=$\frac{{a}^{2}}{2c}$，要使以AB為直徑的圓與x軸的公共點都在橢圓內(nèi)部，只需TH＜a-$\frac{{a}^{2}}{2c}$即可，即MH²-MT²＜（a-$\frac{{a}^{2}}{2c}$）²，（$\frac{{a}^{2}}{2c}$）²-b²＜（a-$\frac{{a}^{2}}{2c}$）²，化簡得c³-2a²c+a³＜0．

解答 解：如圖所示：過圓心M作橫軸垂線，垂足為T，圓與橫軸交點為N，H
則MT=b，MH=r=$\frac{{a}^{2}}{2c}$，要使以AB為直徑的圓與x軸的公共點都在橢圓內(nèi)部，只需
TH＜a-$\frac{{a}^{2}}{2c}$即可，即MH²-MT²＜（a-$\frac{{a}^{2}}{2c}$）²，
（$\frac{{a}^{2}}{2c}$）²-b²＜（a-$\frac{{a}^{2}}{2c}$）²，化簡得c³-2a²c+a³＜0
⇒e³-2e+1＜0⇒（e-1）（e²+e-1）＜0
∵e＜1，∴e²+e-1＞0⇒e＞$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
橢圓的離心率e的取值范圍是（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，1）

點評 本題考查了橢圓的離心率，關(guān)鍵要借助平面幾何知識轉(zhuǎn)化條件，屬于難題．