Question

已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，．

（1）若，求曲線在點處的切線方程；

（2）若，求的單調(diào)區(qū)間；

（3）若，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有3個不同的交點，求實數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，，單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，，單調(diào)遞增區(qū)間為；（3）.

【解析】

試題分析：(1) 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的斜率，再求切點坐標(biāo)，最后根據(jù)點斜式直線方程求切線方程；(2)利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)分析原函數(shù)的單調(diào)性，注意在解不等式時需要對參數(shù)的范圍進行討論；(3)根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的極值，根據(jù)其圖像交點的個數(shù)確定兩個函數(shù)極值的大小關(guān)系，然后解對應(yīng)的不等式.

試題解析：（1）因為，

所以，

所以曲線在點處的切線斜率為.

又因為，

所以所求切線方程為，即．          2分

（2），

①若，當(dāng)或時，；當(dāng)時，.

所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，；

單調(diào)遞增區(qū)間為.                    4分

②若，，

所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.                     5分

③若，當(dāng)或時，；當(dāng)時，.

所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，；

單調(diào)遞增區(qū)間為.                  7分

（3）由（2）知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以在處取得極小值，在處取得極大值.  8分

由，得.

當(dāng)或時，；當(dāng)時，.

所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

故在處取得極大值，在處取得極小值. 10分

因為函數(shù)與函數(shù)的圖象有3個不同的交點，

所以，即.  所以.         12分

考點：1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2.切線方程；3.利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性4.分類討論；5.極值6.零點．