【題目】如圖，已知PA⊥平面ABCD，且四邊形ABCD為矩形，M、N分別是AB、PC的中點．

（1）求證：MN⊥CD；

（2）若∠PDA＝45°，求證：MN⊥平面PCD.

【答案】見解析

【解析】證明：(1）如圖所示，取PD的中點E，連接AE、NE，

∵N為PC的中點，E為PD的中點，∴NE∥CD且NE＝CD，而AM∥CD

且AM＝AB＝CD，∴NE∥AM且NE＝AM，∴四邊形AMNE為平行四邊形，

∴MN∥AE.又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵ABCD為矩形，∴AD⊥CD，又AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AE，又AE∥MN，∴MN⊥CD.

(2）由(1）可知CD⊥AE，MN∥AE.又∠PDA＝45°，∴△PAD為等腰直角三角形，

又E為PD的中點，∴AE⊥PD，∴AE⊥平面PCD. 又AE∥MN，∴MN⊥平面PCD.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某學(xué)校研究性學(xué)習(xí)小組對該校高三學(xué)生視力情況進行調(diào)查，在髙三的全體名學(xué)生中隨機抽取了名學(xué)生的體檢表,并得到如圖的頻率分布直方圖.

（1）若直方圖中后四組的頻數(shù)成等差數(shù)列，試估計全年級視力在以下的人數(shù)；

（2）學(xué)習(xí)小組成員發(fā)現(xiàn),學(xué)習(xí)成績突出的學(xué)生，近視的比較多，為了研究學(xué)生的視力與學(xué)習(xí)成績是否有關(guān)系,對年級名次在名和名的學(xué)生進行了調(diào)查,得到表中數(shù)據(jù),根據(jù)表中的數(shù)據(jù),能否有的把握認為視力與學(xué)習(xí)成績有關(guān)系？

（3）在（2）中調(diào)查的名學(xué)生中，按照分層抽樣在不近視的學(xué)生中抽取了人，進一步調(diào)查他們良好的護眼習(xí)慣,求在這人中任取人,恰好有人的年級名次在名的概率.

附：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某家庭進行理財投資，根據(jù)長期收益率市場預(yù)測，投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益與投資額成正比，投資股票等風(fēng)險型產(chǎn)品的收益與投資額的算術(shù)平方根成正比，已知投資1萬元時兩類產(chǎn)品的收益分別為0．125萬元和0．5萬元（如圖）．

（1）分別寫出兩種產(chǎn)品的收益與投資的函數(shù)關(guān)系；

（2）該家庭現(xiàn)有20萬元資金，全部用于理財投資，問：怎樣分配資金能使投資獲得最大利潤，其最大收

益為多少萬元？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】以橢圓：的中心為圓心，為半徑的圓稱為該橢圓的“準圓”.設(shè)橢圓的左頂點為，左焦點為，上頂點為，且滿足，.

（1）求橢圓及其“準圓”的方程；

（2）若橢圓的“準圓”的一條弦（不與坐標軸垂直）與橢圓交于、兩點，試證明：當時，試問弦的長是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某家具廠生產(chǎn)一種課桌，每張課桌的成本為50元，出廠單價為80元，該廠為鼓勵銷售商多訂購，決定一次訂購量超過100張時，每超過一張，這批訂購的全部課桌出廠單價降低0.02元.根據(jù)市場調(diào)查，銷售商一次訂購量不會超過1000張.

（Ⅰ）設(shè)一次訂購量為張，課桌的實際出廠單價為元，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；

（Ⅱ）當一次性訂購量為多少時，該家具廠這次銷售課桌所獲得的利潤最大？其最大利潤是多少元？（該家具廠出售一張課桌的利潤=實際出廠單價-成本）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，C．已知3cos（B－C）－1＝6cosBcosC．

（1）求cosA；

（2）若a＝3，△ABC的面積為2 ，求b，C．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，，點在底面上的射影為線段的中點．

（1）若為棱的中點，求證：平面；

（2）求二面角的平面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知命題關(guān)于的不等式的解集是,命題函數(shù)的定義域為.

（1）如果為真命題,求實數(shù)的取值范圍;

（2）如果為真命題, 為假命題, 求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】集合P={x|y=x2}，集合Q={y|y=x2}，則P與Q的關(guān)系為（ ）
A.PQ
B.QP
C.P=Q
D.以上都不正確

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