Question

已知函數(shù)f（x）=

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x³+ax+2．
（Ⅰ）求證：曲線=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線在y軸上的截距為定值；
（Ⅱ）若x≥0時(shí)，不等式xe^x+m[f′（x）-a]≥m²x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,函數(shù)恒成立問題

專題：分類討論,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程可得切線方程，令x=0，即可得證；
（Ⅱ）由xe^x+m[f′（x）-a]≥m²x對(duì)x≥0時(shí)恒成立，即e^x+mx-m²≥0對(duì)x≥0時(shí)恒成立，則（e^x+mx-m²）_min≥0，記g（x）=e^x+mx-m²，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間和極值、最值，即可得到m的范圍．

解答： （Ⅰ）證明：f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=x²+a，
即有f（1）=a+

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，f′（1）=1+a，
則切線方程為y-（a+

7

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）=（1+a）（x-1），
令x=0，得y=

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為定值；　　         
（Ⅱ）解：由xe^x+m[f′（x）-a]≥m²x對(duì)x≥0時(shí)恒成立，
得xe^x+mx²-m²x≥0對(duì)x≥0時(shí)恒成立，
即e^x+mx-m²≥0對(duì)x≥0時(shí)恒成立，
則（e^x+mx-m²）_min≥0，
記g（x）=e^x+mx-m²，
g′（x）=e^x+m，由x≥0，e^x≥1，
若m≥-1，g′（x）≥0，g（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，
∴g(x)min=g(0)=1-m2≥0，
則有-1≤m≤1，
若m＜-1，則當(dāng)x∈（0，ln（-m））時(shí)，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)，
則當(dāng)x∈（ln（-m），+∞）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)，
∴g(x)min=g(ln(-m))=-m+mln(-m)-m2=-m(1-ln(-m)+m)≥0，
∴1-ln（-m）+m≥0，
令-m=t，則t+lnt-1≤0（t＞1），
φ（t）=t+lnt-1，顯然是增函數(shù)，
由t＞1，φ（t）＞φ（1）=0，則t＞1即m＜-1，不合題意．
綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是-1≤m≤1．

點(diǎn)評(píng)：本題為導(dǎo)數(shù)與不等式的綜合，主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查考生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力及分類討論的思想，考查考生的計(jì)算能力及分析問題、解決問題的能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．