在四邊形ABCD中，
AB
=
DC
=（3，4），
1
|
BA
|
BA
+
1
|
BC
|
BC
=
2
|
BD
|
BD
，則四邊形ABCD的面積是
25
25
．
分析：形如
a
|
a
|
的向量，由于它的模等于1，所以它被稱為單位向量．本題的向量等式的左邊是兩個單位向量的和，右邊是和平行四邊形ABCD對角線BD共線且長度等于
2
的向量，由此可以證出AB與BC互相垂直且BD平分∠ABC，從而證出四邊形
ABCD是正方形，最終可以求出四邊形ABCD的面積．
解答：解：∵向量
a
|
a
|
的模等于1，因而向量
a
|
a
|
是單位向量
∴向量
BA
|
BA
|
、
BC
|
BC
|
和
BD
|
BD
|
都是單位向量
設(shè)向量
BA
、
BD
的夾角為θ，
∵
1
|
BA
|
BA
+
1
|
BC
|
BC
=
2
|
BD
|
BD

∴由向量
BA
|
BA
|
、
BC
|
BC
|
為鄰邊構(gòu)成的四邊形是菱形，可得BD在∠ABC的平分線上
且有：(
1
|
BA
|
BA
+
1
|
BC
|
BC
) 2= (
2
|
BD
|
BD
) 2，即1+2cosθ+1=2⇒cosθ=0⇒θ=90°
∴∠ABD=45°，可得四邊形ABCD是正方形
∵
AB
=（3，4）
∴|
AB
|=
32+42
=5
∴正方形ABCD的面積為S=52=25
故答案為：25
點評：本題考查了向量在幾何中的應(yīng)用，屬于中檔題．本題考查的重點是向量加法的幾何意義和向量數(shù)量積的性質(zhì)，不失為一道有價值的綜合題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，在四邊形ABCD中，EF∥BC，F(xiàn)G∥AD，則
EF
BC
+
FG
AD
=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

四棱錐P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC=2，在四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，CD∥AB，AB=4，CD=1，點M在PB上，且MB=3PM，PB與平面ABC成30°角．
（1）求證：CM∥面PAD；
（2）求證：面PAB⊥面PAD；
（3）求點C到平面PAD的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在四邊形ABCD中，
AB
=
DC
且|
AB
|=|
AD
|，則四邊形的形狀為
菱形
菱形
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在四邊形ABCD中，若
AC
•
BD
=0，
AB
=
DC
，則四邊形ABCD的形狀是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•大豐市一模）在四邊形ABCD中，對角線AC與BD互相平分，交點為O．在不添加任何輔助線的前提下，要使四邊形ABCD成為矩形，還需添加一個條件，這個條件可以是
∠ABC=90°或AC=BD（答案不唯一）
∠ABC=90°或AC=BD（答案不唯一）
．

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同步練習(xí)冊答案