Question

設橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個頂點與拋物線x²=4

2

y的焦點重合，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分布是橢圓的左、右焦點，離心率e=

3

3

，過橢圓右焦點F₂的直線l與橢圓C交于M，N兩點，O為坐標原點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）當

OM

•

ON

=-1時，求直線l的方程；
（Ⅲ）若AB是橢圓C經過原點O的弦，MN∥AB，是否存在常數(shù)λ，使|AB|=λ

|MN|

？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知得b=

2

，又e=

c

a

=

3

3

，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設直線l的方程為x=my+1，代入

x2

3

+

y2

2

=1，得（2m²+3）y²+4my-4=0，由此利用韋達定理、向量數(shù)量積和已知條件能求出直線l的方程．
（Ⅲ）設直線l的方程為x=my+1，代入

x2

3

+

y2

2

=1，得（2m²+3）y²+4my-4=0，由此利用弦長公式結合已知條件能求出常數(shù)λ．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得b=

2

，又e=

c

a

=

3

3

，
a²=2+c²，解得a²=3，
∴橢圓C的方程為

x2

3

+

y2

2

=1．
（Ⅱ）設直線l的方程為x=my+1，
代入

x2

3

+

y2

2

=1，得（2m²+3）y²+4my-4=0，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則y1+y2=-

4m

2m2+3

，①
y1y2=-

4

2m2+3

，②
又x₁=my₁+1，x₂=my₂+1，

OM

•

ON

=x₁x₂+y₁y₂=（my₁+1）（my₂+1）+y₁y₂
=（m²+1）（y₁y₂）+m（y₁+y₂）+1=-1，③
將①②代入③得m=±

2

2

，
∴x=±

2

2

y+1，
∴直線l的方程為2x-

2

y-2=0，或2x+

2

y-2=0．
（Ⅲ）設直線l的方程為x=my+1，代入

x2

3

+

y2

2

=1，
得（2m²+3）y²+4my-4=0，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則有：
y1+y2=-

4m

2m2+3

，①，y1y2=-

4

2m2+3

，②
∴|MN|=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

=

1+m2

(y2+y1)2-4y1y2

=

1+m2

(- 4m 2m2+3 )2+4• 4 2m2+3

=

4 3 (1+m2)

2m2+3

，
設AB的直線方程為x=my，代入

x2

3

+

y2

2

=1，
得y2=

6

2m2+3

，設A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），
|AB|²=（

1+m2

|y3-y4|）²
=（1+m²）4y²=

24(1+m2)

2m2+3

，
∴λ2=

|AB|2

|MN|

=2

3

=

12

，
∴λ=

4	12

．

點評：本題考查橢圓方程、直線方程的求法，考查滿足條件的實數(shù)是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意弦長公式的合理運用．