Question

已知函數(shù)，存在正數(shù)b，使得f（x）的定義域和值域相同．
（1）求非零實數(shù)a的值；
（2）若函數(shù)有零點，求b的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設(shè)函數(shù)的定義域與值域相同，故可以求出參數(shù)表示的函數(shù)的定義域與值域，由兩者相同，故比較二區(qū)間的端點得出參數(shù)滿足的方程解方程求參數(shù)即可．
（2）由（1）解出a=-4，函數(shù)有零點，即在上有根，可以轉(zhuǎn)化為4x⁴-bx³+b²=0在上有根，下根據(jù)方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系將方程有根的問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)h（x）=4x⁴-bx³+b²在上存在零點的條件來求參數(shù)b的最小值．
解答：解：（1）若a＞0，對于正數(shù)b，f（x）的定義域為
，
但f（x）的值域A⊆[0，+∞），故D≠A，不合要求．
若a＜0，對于正數(shù)b，f（x）的定義域為．
由于此時，
故函數(shù)的值域．
由題意，有，由于b＞0，所以a=-4．
（2）由，即，
得4x⁴-bx³+b²=0．
記h（x）=4x⁴-bx³+b²，
則h′（x）=16x³-3bx²，令h′（x）=0，（10分）
易知上遞減；在上遞增．
∴是h（x）的一個極小值點．（12分）
又，∴由題意有：，（14分）
即4，∴，
故．（16分）
點評：本題考點是函數(shù)零點判定定理，考查求函數(shù)的定義域、值域以及根據(jù)函數(shù)的定義域、值域求參數(shù)，本題出題方式有創(chuàng)新，再就是考查了用函數(shù)的圖象變化特性求參數(shù)的最小值，由本題解題過程可以看出，函數(shù)零點的存在性問題常與函數(shù)圖象的變化相結(jié)合，故此類綜合題解題一般會且到導(dǎo)數(shù)這一工具．做題時做注意總結(jié)本題的解題規(guī)律，以推廣到同類題的求解中去．