Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知曲線的參數方程為（為參數），以為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．

（Ⅰ）求曲線的普通方程與曲線的直角坐標方程；

（Ⅱ）設為曲線上的動點，求點到上點的距離的最小值，并求此時點的坐標．

Answer 1

【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）最小值為，此時點的坐標為．

【解析】

（Ⅰ）由條件利用同角三角函數的基本關系把參數方程化為直角坐標方程，利用直角坐標和極坐標的互化公式、，把極坐標方程化為直角坐標方程；（Ⅱ）求得橢圓上的點到直線的距離為，可得的最小值，以及此時的的值，從而求得點的坐標.

（Ⅰ）對曲線：，，

∴曲線的普通方程為．

對曲線：，

∴．

∴曲線的直角坐標方程為．

（Ⅱ）設曲線上的任意一點為， 則點到曲線：的距離，當，即時，，此時點的坐標為．