Question

【題目】已知，，若點(diǎn)A為函數(shù)上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)B為函數(shù)上的任意一點(diǎn).

(1)求A，B兩點(diǎn)之間距離的最小值；

(2)若A，B為函數(shù)與函數(shù)公切線的兩個(gè)切點(diǎn)，求證:這樣的點(diǎn)B有且僅有兩個(gè)，且滿足條件的兩個(gè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)互為倒數(shù).

Answer 1

【答案】（1）.（2）證明見解析

【解析】

（1）由于與互為反函數(shù)，即函數(shù)圖象關(guān)于y=x對(duì)稱，且在點(diǎn)(0，1)處的切線為y=x+1和在點(diǎn)(1，0)的切線為y=x-1，所以A，B兩點(diǎn)之間的距離的最小值即為(0，1)與(1，0)之間的距離；

（2）在A處的切線為，在B 處的切線為，由于它們是，公切線 ，所以，聯(lián)立消得，，最后令，證，有且僅有兩個(gè)解，且兩個(gè)解互為倒數(shù)即可.

(1)解:由，則在點(diǎn)(0，1)處的切線為y=x+1，

又，則在點(diǎn)(1，0)的切線為y=x-1，

由于與互為反函數(shù)，即函數(shù)圖象關(guān)于y=x對(duì)稱如圖，

故而A，B兩點(diǎn)之間的距離的最小值即為(0，1)與(1，0)之間的距離，

所以A，B兩點(diǎn)之間的距離的最小值為.

(2)設(shè)A ，B

則在A處的切線為，即

在B 處的切線為，即，

所以，則，

要證這樣的點(diǎn)B有且僅有兩個(gè)，需證上式有且有兩個(gè)解，

令，下證有且僅有兩個(gè)解，

由，因?yàn)?/span>單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以單調(diào)遞增，

又，，故存在唯一的，使得，

故而，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

又，，

所以在上有唯一的根；

記，由，則，

又，

故是在上有唯一的根，

所以有且僅有兩個(gè)解，

綜上所述，這樣的點(diǎn)B有且僅有兩個(gè)，且滿足條件的兩個(gè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)互為倒數(shù).