Question

7．已知關(guān)于x的二次函數(shù)f（x）=ax²-4bx+1．
（1）設(shè)集合P={1，2，3}和Q={-1，0，1，2，3，4}，分別從集合P和Q中隨機(jī)取一個數(shù)作為a和b，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率；
（2）設(shè)點（a，b）是區(qū)域$\left\{\begin{array}{l}{x+y-8≤0}\\{x＞0}\\{y＞0}\end{array}\right.$內(nèi)的一點，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率．

Answer 1

分析 （1）這是一個古典概型問題，分別計算出滿足條件的基本事件個數(shù)，及基本事件的總個數(shù)，然后代入古典概型計算公式，即可求解．
（2）作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，根據(jù)概率的幾何概型的概率公式進(jìn)行計算即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=ax²-4bx+1的圖象的對稱軸為x=$\frac{2b}{a}$
要使f（x）=ax²-4bx+1在區(qū)間[1，+∞）上為增函數(shù)，
當(dāng)且僅當(dāng)a＞0且$\frac{2b}{a}$≤1，即2b≤a
若a=1則b=-1，0；
若a=2則b=-1，0，1；
若a=3則b=-1，0，1；
∴事件包含基本事件的個數(shù)是2+3+3=8
∴所求事件的概率為：$\frac{8}{15}$．
（2）解：作出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x+y-8≤0}\\{x＞0}\\{y＞0}\end{array}\right.$內(nèi)對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：對應(yīng)的圖形為△OAB，其中對應(yīng)面積為S=$\frac{1}{2}$×8×8=32，
若f（x）=ax²-4bx+1在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，
則滿足a＞0且對稱軸x=$\frac{4b}{2a}$≤1，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a≥2b}\end{array}\right.$，對應(yīng)的平面區(qū)域為△OBC，
由$\left\{\begin{array}{l}{a=2b}\\{a+b-8=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{16}{3}}\\{b=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
∴對應(yīng)的面積為S₁=$\frac{1}{2}$×$\frac{8}{3}$×8=$\frac{32}{3}$，
∴根據(jù)幾何概型的概率公式可知所求的概率為$\frac{\frac{32}{3}}{32}$=$\frac{1}{3}$，

點評 本題主要考查幾何概型的概率公式的計算，作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域是解決本題的關(guān)鍵．考查古典概型，掌握古典概型的計算步驟和計算公式是解答本題的關(guān)鍵，同時考查了分類的思想，屬于中檔題．