Question

雙曲線C的中心在原點(diǎn)，右焦點(diǎn)為F（

2

3

3

，0），漸近線方程為y=±

3

x
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）若過(guò)點(diǎn)（0，1）的直線L與雙曲線的右支交與兩點(diǎn)，求直線L的斜率的范圍；
（Ⅲ）設(shè)直線L：y=kx+1與雙曲線C交與A、B兩點(diǎn)，問(wèn)：當(dāng)k為何值時(shí)，以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，依題意，由其焦點(diǎn)坐標(biāo)與漸近線方程可求得a²=

1

3

，b²=1，從而可得雙曲線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線L的方程為y=kx+1，聯(lián)立直線和曲線方程得

y=kx+1 3x2-y2=1

，消去y可得：（3-k²）x²-2kx-2=0，依題意，利用韋達(dá)定理可得

3-k2≠0 △＞0 x1+x2＞0 x1x2＞0

，解之即可求得k的取值范圍；
（Ⅲ）聯(lián)立直線y=kx+1與雙曲線3x²-y²=1可得（3-k²）x²-2kx-2=0，設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），依題意，x₁x₂+y₁y₂=0，利用韋達(dá)定理可得x₁+x₂=

-2k

k2-3

，x₁x₂=

2

k2-3

，從而可求得

2

k2-3

+1=0，繼而可解得k的值．

解答：解：（I）設(shè)雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，由焦點(diǎn)坐標(biāo)得c=

2

3

3

，漸近線方程為y=±

b

a

x=±

3

x，
∵c²=a²+b²，
∴a²=

1

3

，b²=1，
∴雙曲線C的方程為：

x2

1 3

-y²=1．
（II）設(shè)直線L的方程為y=kx+1，聯(lián)立直線和曲線方程得

y=kx+1 3x2-y2=1

，消去y得：（3-k²）x²-2kx-2=0，
設(shè)兩交點(diǎn)為（x₁，y₁），（x₂，y₂），由直線和曲線右支交于兩點(diǎn)得：

3-k2≠0 △＞0 x1+x2＞0 x1x2＞0

，
解得：-

6

＜k＜-

3

．
（III）由

y=kx+1 3x2-y2=1

得（3-k²）x²-2kx-2=0，
由△＞0，且3-k²≠0，得-

6

＜k＜

6

，且k≠±

3

．
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），因?yàn)橐訟B為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，所以O(shè)A⊥OB，所以 x₁x₂+y₁y₂=0，又x₁+x₂=

-2k

k2-3

，x₁x₂=

2

k2-3

，
∴y₁y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1，
∴k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1+x₁x₂=0，即

2k2

k2-3

+

-2k2

k2-3

+1+

2

k2-3

=0，
∴

2

k2-3

+1=0，解得k=±1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，著重考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，突出考查韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與綜合運(yùn)算能力，屬于難題．