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4.點(diǎn)P是棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一點(diǎn),則PAPC1的取值范圍是[-12,0].

分析 建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y,z),則由題意可得0≤x≤1,0≤y≤1,z=1,計(jì)算PAPC1=x2-x,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得它的值域即可.

解答 解:以點(diǎn)D為原點(diǎn),以DA所在的直線為x軸,以DC所在的直線為y軸,以DD1所在的直線為z軸,
建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示;
則點(diǎn)A(1,0,0),C1 (0,1,1),
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y,z),由題意可得 0≤x≤1,0≤y≤1,z=1;
PA=(1-x,-y,-1),PC1=(-x,1-y,0),
PAPC1=-x(1-x)-y(1-y)+0=x2-x+y2-y=x122+y122-12,
由二次函數(shù)的性質(zhì)可得,當(dāng)x=y=12時(shí),PAPC1取得最小值為-12;
當(dāng)x=0或1,且y=0或1時(shí),PAPC1取得最大值為0,
PAPC1的取值范圍是[-12,0].
故答案為:[-12,0].

點(diǎn)評 本題主要考查了向量在幾何中的應(yīng)用與向量的數(shù)量積運(yùn)算問題,是綜合性題目.

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