Question

如圖，矩形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=DE=1，CD=2，M為CE上的點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面BDE；
（Ⅱ）當(dāng)M為CE中點(diǎn)時，求直線BM與平面BEF所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知中矩形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，易得ED⊥平面ABCD，進(jìn)而ED⊥BC，由勾股定理，我們易判斷出△BCD中，BC⊥BD，由線面垂直的判定定理可得BC⊥平面BDE；
（Ⅱ）建立坐標(biāo)系，求出平面BEF的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求直線BM與平面BEF所成角的正弦值．

解答： （Ⅰ）證明：在矩形ADEF中，ED⊥AD，
又因為平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，
所以ED⊥平面ABCD，所以ED⊥BC．
在直角梯形ABCD中，AB=AD=1，CD=2，可得BC=

2

在△BCD中，BD=BC=

2

，CD=2，
因為BD²+BC²=CD²，所以BC⊥BD．
因為BD∩DE=D，所以BC⊥平面BDE；
（Ⅱ）解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，則B（1，1，0），E（0，0，1），F(xiàn)（1，0，1），M（0，1，

1

2

），
∴

BF

=（0，-1，1），

EF

（1，0，0），

BM

=（-1，0，

1

2

），
設(shè)

m

=（x，y，z）為平面BEF的一個法向量，則

-y+z=0 x=0

，
令y=1得

m

=（0，1，1）．
設(shè)直線BM與平面BEF所成角為θ，則
sinθ=|cos＜

m

，

BM

＞|=

10

10

，
∴直線BM與平面BEF所成角的正弦值為

10

10

．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是直線與平面垂直的判定，直線與平面所成角，熟練掌握直線與平面垂直的判定是解答本題的關(guān)鍵．