【題目】已知拋物線的準線為,焦點為, 為坐標原點.
(1)求過點,且與相切的圓的方程;
(2)過的直線交拋物線于兩點, 關于軸的對稱點為,求證:直線過定點.
【答案】(1);(2)見解析.
【解析】試題分析:(1)圓過可得,圓與直線相切,可得.
由,得.從而得圓的方程.
(2)聯(lián)立方程可得韋達定理: , .
表示直線的方程為,由對稱性可令,得化簡整理可得直線過定點 .
試題解析:解法一:(1)拋物線的準線的方程為: ,焦點坐標為,
設所求圓的圓心,半徑為, 圓過, ,
圓與直線相切, .
由,得.
過,且與直線相切的圓的方程為.
(2)依題意知直線的斜率存在,設直線方程為,
, , , ,
聯(lián)立,消去得.
, .
直線的方程為,
令,得 .
直線過定點 ,
解法二:(1)同解法一.
(2)直線過定點.
證明:依題意知直線的斜率存在,設直線方程為,
, , , ,
聯(lián)立,消去得,
, .
,
.
,即, 三點共線, 直線過定點.
解法三:(1)同解法一.
(2)設直線的方程: , , ,則.
由得, .
, .
, 直線的方程為.
.
直線過定點.
點睛:定點、定值問題通常是通過設參數或取特殊值來確定“定點”是什么、“定值”是多少,或者將該問題涉及的幾何式轉化為代數式或三角問題,證明該式是恒定的. 定點、定值問題同證明問題類似,在求定點、定值之前已知該值的結果,因此求解時應設參數,運用推理,到最后必定參數統(tǒng)消,定點、定值顯現.
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【題目】已知函數f(x)是定義在R上的偶函數,且當x≤0時,f(x)=x2+2x.現已畫出函數f(x)在y軸左側的圖象,如圖所示,并根據
(1)寫出函數f(x)(x∈R)的增區(qū)間;
(2)寫出函數f(x)(x∈R)的解析式;
(3)若函數g(x)=f(x)﹣2ax+2(x∈[1,2]),求函數g(x)的最小值.
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【題目】已知橢圓C: (a>b>0)過點P(﹣1,﹣1),c為橢圓的半焦距,且c= b.過點P作兩條互相垂直的直線l1 , l2與橢圓C分別交于另兩點M,N.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線l1的斜率為﹣1,求△PMN的面積;
(3)若線段MN的中點在x軸上,求直線MN的方程.
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【題目】已知定義域為R的函數f(x)= 是奇函數.
(1)求a,b的值;
(2)判斷函數的單調性并證明;
(3)若對任意的t∈R,不等式f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0恒成立,求k的取值范圍.
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【題目】已知P(﹣2,3)是函數y= 圖象上的點,Q是雙曲線在第四象限這一分支上的動點,過點Q作直線,使其與雙曲線y= 只有一個公共點,且與x軸、y軸分別交于點C、D,另一條直線y= x+6與x軸、y軸分別交于點A、B.則
(1)O為坐標原點,三角形OCD的面積為 .
(2)四邊形ABCD面積的最小值為 .
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【題目】已知f(x)是定義在R上的奇函數,當x<0時,f(x)=( )x .
(1)求當x>0時f(x)的解析式;
(2)畫出函數f(x)在R上的圖象;
(3)寫出它的單調區(qū)間.
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【題目】下列命題的說法錯誤的是( )
A.命題“若x2﹣3x+2=0,則 x=1”的逆否命題為:“若x≠1,則x2﹣3x+2≠0”.
B.“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分必要條件.
C.命題p:“?x∈R,sinx+cosx≤ ”是真命題
D.若¬(p∧q)為真命題,則p、q至少有一個為假命題.
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