Question

如圖，正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，D是BC的中點(diǎn)，AA₁＝AB＝1．

(Ⅰ)求二面角B－AB₁－D的大小；

(Ⅱ)求點(diǎn)C到平面AB₁D的距離

Answer 1

答案：
解析：

解法一(Ⅰ)解：在面ABC內(nèi)作DF⊥AB于點(diǎn)F，在面A1ABB1內(nèi)作FG⊥AB1于點(diǎn)G，連接DG． 　　∵平面A1ABB1⊥平面ABC，∴DF⊥平面A1ABB1， 　　∴FG是DG在平面A1ABB1上的射影，∵FG⊥AB1，∴DG⊥AB1 　　∴∠FGD是二面角B－AB1－D的平面角設(shè)A1A＝AB＝1，在正△ABC中，DF＝ 　　在△AFG中，， 　　在Rt△DFG中，， 　　所以，二面角B－AB1－D的大小為　　　　6分 　　(Ⅱ)解：∵平面B1BCC1⊥平面ABC，且AD⊥BC， 　　∴AD⊥平面B1BCC1，又AD平面AB1D，∴平面B1BCC1⊥平面AB1D． 　　在平面B1BCC1內(nèi)作CH⊥B1D交B1D的延長線于點(diǎn)H， 　　則CH的長度就是點(diǎn)C到平面AB1D的距離． 　　由△CDH∽△B1DB，得 　　即點(diǎn)C到平面AB1D的距離是　　　　12分 　　解法二： 　　建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz，如圖， 　　(Ⅰ)證明： 　　連接A1B，設(shè)A1B∩AB1＝E，連接DE． 　　設(shè)A1A＝AB＝1， 　　則 　　，， 　　設(shè)是平面AB1D的法向量，則， 　　故； 　　同理，可求得平面AB1B的法向量是　　　6分 　　設(shè)二面角B－AB1－D的大小為θ，， 　　∴二面角B－AB1－D的大小為　　　　　8分 　　(Ⅱ)解：解由(Ⅱ)得平面AB1D的法向量為， 　　取其單位法向量又 　　∴點(diǎn)C到平面AB1D的距離　　　　12分