在△ABC中,角A,B,C滿足4cosBcos2
A+C2
+cos2B=0

(Ⅰ)求角B的大。
(Ⅱ)求sinA+sinC的取值范圍.
分析:(Ⅰ)將已知等式左邊第一項第二個因式利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡,第二項利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡,整理后利用誘導公式變形,求出cosB的值,由B為三角形的內角,利用特殊角的三角函數(shù)值求出B的度數(shù)即可;
(Ⅱ)由B的度數(shù),利用三角形的內角和定理求出A+C的度數(shù),用A表示出C,代入sinA+sinC中,利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡,整理后再利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù),由這個角的范圍求出正弦函數(shù)的值域,即可得出所求式子的范圍.
解答:解:(Ⅰ)由已知2cosB[1+2cos(A+C)]+2cos2B-1=0,
可化為:2cosB(1-cosB)+2cos2B-1=0,即2cosB-1=0,
解得:cosB=
1
2
,又B為三角形的內角,
則B=
π
3
;
(Ⅱ)由(Ⅰ)B=
π
3
,得到A+C=
3
,即C=
3
-A,且0<A<
3

∴sinA+sinC=sinA+sin(
3
-A)
=sinA+
3
2
cosA+
1
2
sinA=
3
2
sinA+
3
2
cosA
=
3
sin(A+
π
6
),
π
6
<A+
π
6
6
,∴
1
2
<sin(A+
π
6
)≤1,
則sinA+sinC的取值范圍為(
3
2
,
3
].
點評:此題考查了二倍角的余弦函數(shù)公式,兩角和與差的正弦函數(shù)公式,正弦函數(shù)的定義域與值域,以及特殊角的三角函數(shù)值,熟練公式是解本題的關鍵.
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在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a,b,c,若b2+c2-a2=
3
bc
,且b=
3
a
,則下列關系一定不成立的是( 。
A、a=c
B、b=c
C、2a=c
D、a2+b2=c2

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1114

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3
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b
a
=
sinB
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2
sinB-cosC
,并求它的最大值.

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5
,b=3,sinC=2sinA
,則sinA=
 

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