Question

在△ABC中，角A，B，C滿足4cosBcos2

A+C

2

+cos2B=0
（Ⅰ）求角B的大�。�
（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將已知等式左邊第一項第二個因式利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，第二項利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，整理后利用誘導公式變形，求出cosB的值，由B為三角形的內角，利用特殊角的三角函數(shù)值求出B的度數(shù)即可；
（Ⅱ）由B的度數(shù)，利用三角形的內角和定理求出A+C的度數(shù)，用A表示出C，代入sinA+sinC中，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡，整理后再利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，由這個角的范圍求出正弦函數(shù)的值域，即可得出所求式子的范圍．

解答：解：（Ⅰ）由已知2cosB[1+2cos（A+C）]+2cos²B-1=0，
可化為：2cosB（1-cosB）+2cos²B-1=0，即2cosB-1=0，
解得：cosB=

1

2

，又B為三角形的內角，
則B=

π

3

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）B=

π

3

，得到A+C=

2π

3

，即C=

2π

3

-A，且0＜A＜

2π

3

，
∴sinA+sinC=sinA+sin（

2π

3

-A）
=sinA+

3

2

cosA+

1

2

sinA=

3

2

sinA+

3

2

cosA
=

3

sin（A+

π

6

），
∵

π

6

＜A+

π

6

＜

5π

6

，∴

1

2

＜sin（A+

π

6

）≤1，
則sinA+sinC的取值范圍為（

3

2

，

3

]．

點評：此題考查了二倍角的余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練公式是解本題的關鍵．