Question

【題目】函數(shù).

（1）當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時，時，恒成立，求正整數(shù)的最大值.

Answer 1

【答案】（1）見解析

（2）

【解析】

（1）對求導(dǎo)，再因式分解，討論每個因式的正負(fù)，再判斷的正負(fù)，進(jìn)而判斷的單調(diào)性；（2）代入，將不等式中的和分離在不等號兩邊，然后討論不等號含有一邊的函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷最值，再計算的取值范圍，由是正整數(shù)的條件可求出的最大值.

解：（1）函數(shù)的定義域為，

①當(dāng)時，因為，故有.

此時函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減.

②當(dāng)，有，方程的兩根分別是：

函數(shù)在上單調(diào)遞減；

當(dāng)函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)函數(shù)在上單調(diào)遞減.

③當(dāng)時，易知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，

在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.

（2）當(dāng)

設(shè)

當(dāng)時，有，

設(shè)

在上單調(diào)遞增，

又在上的函數(shù)圖像是一條不間斷的曲線，

且，

存在唯一的，使得，即.

當(dāng)；

當(dāng)，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

在上單調(diào)遞減，

，

時，不等式對任意恒成立，

正整數(shù)的最大值是3.