已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（0，0），導(dǎo)數(shù)f′（x）=2x+1，當(dāng)x∈[n，n+1]（n∈N*）時(shí)，f（x）是整數(shù)的個(gè)數(shù)記為an．
（1）求a、b、c的值；
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）令bn=，求{bn}的前n項(xiàng)和Sn．
【答案】分析：（1）先根據(jù)f（0）=0求得c，進(jìn)而對(duì)函數(shù)f（x）的解析式求導(dǎo)，進(jìn)而求得b和a．
（2）先根據(jù)題意可知an=（n+1）（n+2）-n（n+1）+1進(jìn)而求得 an+1兩式相減可推斷數(shù)列{an}是等差數(shù)列，進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得答案．
（3）把（2）中求得的an代入bn，進(jìn)而利用裂項(xiàng)法求和．
解答：解：（1）∵f（0）=c=0
∴c=0，
f′（x）=2ax+b=2x+1
∴a=1，b=1
（2）依題意可知an=（n+1）（n+2）-n（n+1）+1=2（n+1）+1，an+1=（n+2）（n+3）-（n+1）（n+2）+1=2（n+2）+1，
∴a（n+1）-an=2，a1=5
∴數(shù)列{an}是以5為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
∴an=5+（n-1）×2=2n+3
（3）bn==-，{bn}的前n項(xiàng)和 Sn=-+-+…+--=--=
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)和用裂項(xiàng)法數(shù)列求和．高考中數(shù)列題往往與不等式、函數(shù)等知識(shí)綜合考查，所以平時(shí)應(yīng)加強(qiáng)這方面的復(fù)習(xí)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=x2+2（m-2）x+m-m2．
（I）若函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，且滿足f（2）=0，求實(shí)數(shù)m的值．
（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間[2，+∞）上為增函數(shù)，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點(diǎn)（0，1），且與x軸有唯一的交點(diǎn)（-1，0）．
（Ⅰ）求f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）-kx，x∈[-2，2]，記此函數(shù)的最小值為g（k），求g（k）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=x2-16x+q+3．
（1）若函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)q的取值范圍；
（2）若記區(qū)間[a，b]的長(zhǎng)度為b-a．問：是否存在常數(shù)t（t≥0），當(dāng)x∈[t，10]時(shí)，f（x）的值域?yàn)閰^(qū)間D，且D的長(zhǎng)度為12-t？請(qǐng)對(duì)你所得的結(jié)論給出證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•廣州一模）已知二次函數(shù)f（x）=x2+ax+m+1，關(guān)于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m2的解集為（m，m+1），其中m為非零常數(shù)．設(shè)g(x)=
f(x)x-1
．
（1）求a的值；
（2）k（k∈R）如何取值時(shí)，函數(shù)φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在極值點(diǎn)，并求出極值點(diǎn)；
（3）若m=1，且x＞0，求證：[g（x+1）]n-g（xn+1）≥2n-2（n∈N*）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知二次函數(shù)f（x）的圖象與x軸的兩交點(diǎn)為（2，0），（5，0），且f（0）=10，求f（x）的解析式．
（2）已知二次函數(shù)f（x）的圖象的頂點(diǎn)是（-1，2），且經(jīng)過原點(diǎn)，求f（x）的解析式．

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