Question

已知集合A={x|2x2-2x-3＜(

1

2

)3(x-1)}，B={x|log

1

3

(9-x2)＜log

1

3

(1-2x)}，又A∩B={x|x²+ax+b＜0}，求a+b的值．

Answer 1

分析：由已知中集合A={x|2x2-2x-3＜(

1

2

)3(x-1)}，B={x|log

1

3

(9-x2)＜log

1

3

(1-2x)}，我們易求出集合A，B，又由A∩B={x|x²+ax+b＜0}，根據(jù)二次不等式與二次方程之間的關(guān)系，可以得到不等式解集的端點，就是對應(yīng)方程的根，進而由韋達定理（根與系數(shù)的關(guān)系）得到答案．

解答：解：∵A={x|-3＜x＜2}，B={x

.

9-x2＞1-2x 9-x2＞0 1-2x＞0

}={x|-2＜x＜

1

2

}（6分）
∴A∩B={x|x²+ax+b＜0}={x|-2＜x＜

1

2

}，（8分）
∴-2和

1

2

即為方程x²+ax+b=0的兩根，∴

-a=-2+ 1 2 =- 3 2 b=(-2)× 1 2 =-1

，
∴a+b=

1

2

．

點評：本題考查的知識點是指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、一元二次不等式與一元二次方程的關(guān)系，其中根據(jù)一元二次不等式與一元二次方程的關(guān)系將問題轉(zhuǎn)化為方程根與系數(shù)的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．