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定義數列： ，且對任意正整數，有.

（1）求數列的通項公式與前項和；

（2）問是否存在正整數，使得？若存在，則求出所有的正整數對

；若不存在，則加以證明.

 

【答案】

（1），；

（2）見解析.

【解析】考查了等差、等比數列的通項公式、求和公式，數列的分組求和等知識，考查了學生變形的能力，推理能力，探究問題的能力，分類討論的數學思想、化歸與轉化的思想以及創(chuàng)新意識．

解：（1）對任意正整數k，

 ，

.      1分

   所以數列是首項,公差為2等差數列；數列是首項

,公比為3的等比數列.    2分

對任意正整數k, ,.      3分

所以數列的通項公式  4分

對任意正整數k,

. 5分

   6分

所以數列的前n項和為

. 7分

 (2)  ,

從而,由知m=1,2,3     8分

①當時,   9分

②當時,    10分     

③當時,

      13分     

綜上可知,符合條件的正整數對(m,n)只有兩對：(2,2,)與(3,1) 14分     

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

我們知道，如果定義在某區(qū)間上的函數f（x）滿足對該區(qū)間上的任意兩個數x1、x2，總有不等式
f(x1)+f(x2)
2
≤f(
x1+x2
2
)成立，則稱函數f（x）為該區(qū)間上的向上凸函數（簡稱上凸）．類比上述定義，對于數列{an}，如果對任意正整數n，總有不等式：
an+an+2
2
≤an+1成立，則稱數列{an}為向上凸數列（簡稱上凸數列）．現(xiàn)有數列{an}滿足如下兩個條件：
（1）數列{an}為上凸數列，且a1=1，a10=28；
（2）對正整數n（1≤n＜10，n∈N*），都有|an-bn|≤20，其中bn=n2-6n+10．
則數列{an}中的第五項a5的取值范圍為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

形如
ab
cd
的式子叫做二行二列矩陣，定義矩陣的一種運算
ab
cd
 •
x
y
=
ax+bx
cx+dy
．該運算的幾何意義為平面上的點（x，y）在矩陣
ab
cd
的作用下變換成點（ax+by，cx+dy）．
（1）設點M（-2，1）在
01
10
的作用下變換成點M′，求點M′的坐標；
（2）設數列{an} 的前n項和為Sn ，且對任意正整數n，點A（Sn，n）在
01
10
的作用下變換成的點A′在函數f（x）=x2+x的圖象上，求an的表達式；
（3）在（2）的條件下，設bn為數列{1-
1
an
}的前n項的積，是否存在實數a使得不等式bn
an+1
＜a對一切n∈N*都成立？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•深圳二模）定義數列{an}：a1=1，a2=2，且對任意正整數n，有an+2=[2+(-1)n]an+（-1）n+1+1．
（1）求數列{an}的通項公式與前n項和Sn；
（2）問是否存在正整數m，n，使得S2n=mS2n-1？若存在，則求出所有的正整數對（m，n）；若不存在，則加以證明．

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年江西省、臨川一中高三12月聯(lián)考文科數學試卷（解析版） 題型：選擇題

已知函數，若數列滿足，且對任意正整數都有成立，則實數的取值范圍是(   )

A．           B．           C．            D．

 

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