Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD=DC=1，E、F分別是AB、PB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：EF⊥CD；
（Ⅱ）求二面角F-DE-B的大��；
（Ⅲ）在平面PAD內(nèi)求一點(diǎn)G，使GF⊥平面PCB，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）（3）中證明線線垂直及線面垂直，可以綜合線線、線面、面面垂直的性質(zhì)及判定定理進(jìn)行解答，也可利用三垂線定理進(jìn)行解答
（2）求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．再利用解三角形的辦法求解，對于本題，也可以建立空間坐標(biāo)系，利用空間向量進(jìn)行求解和證明．
解答：解法一：
證明：（Ⅰ）∵E、F分別是AB、PB的中點(diǎn)，
∴EF∥PA．
∵ABCD是正方形，
∴AD⊥CD．
又PD⊥底面ABCD，
∴AD是斜線PA在平面ABCD內(nèi)的射影．
∴PA⊥CD．
∴EF⊥CD

（Ⅱ）連接AC交BD于O，過O作OK⊥DE于K，連接OF、FK．
∵O，F(xiàn)分別為BD，PB中點(diǎn)，
∴OF∥PD．
∵PD⊥底面ABCD，
∴OF⊥底面ABCD．
∴OK是斜線FK在平面ABCD內(nèi)的射影．
∴FK⊥DE．
∴∠FKO是二面角F-DE-B的平面角
經(jīng)計(jì)算得：，．
∴．
即二面角F-DE-B的大小為

（Ⅲ）取PC的中點(diǎn)H，連接DH．
∵PD=DC，
∴DH⊥PC．
又易證BC⊥平面PDC，
∴DH⊥BC．
又PC∩BC=C，
∴DH⊥平面PBC
取AD中點(diǎn)G，連接GF、FH．
∴FH∥BC∥DG，且FH=DG．
∴四邊形DGFH為平行四邊形．
∴DH∥GF．
∴GF⊥平面PCB．
即當(dāng)G是AD的中點(diǎn)時(shí)，GF⊥平面PCB

解法二：
以DA、DC、DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），
則D（0，0，0）、A（1，0，0）、B（1，1，0）、C（0，1，0）、、、P（0，0，1）．
（Ⅰ）∵，，
∴．
∴EF⊥CD

（Ⅱ）∵PD⊥底面ABCD，
∴平面BDE的法向量為
設(shè)平面DEF的法向量為
由得即
令x=1，則y=-2，z=1．
∴
∴．
即二面角F-DE-B的大小為

（Ⅲ）設(shè)G（m，0，n），則G∈平面PAD．
∴．
由，得．由，得n=0．
∴G點(diǎn)坐標(biāo)為，即G為AD中點(diǎn)時(shí)，GF⊥平面PCB
點(diǎn)評：線線垂直可由線面垂直的性質(zhì)推得，直線和平面垂直，這條直線就垂直于平面內(nèi)所有直線，這是尋找線線垂直的重要依據(jù)．垂直問題的證明，其一般規(guī)律是“由已知想性質(zhì)，由求證想判定”，也就是說，根據(jù)已知條件去思考有關(guān)的性質(zhì)定理；根據(jù)要求證的結(jié)論去思考有關(guān)的判定定理，往往需要將分析與綜合的思路結(jié)合起來．證明線面垂直的方法：證明一個(gè)面過另一個(gè)面的垂線，將證明面面垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，一般先從現(xiàn)有直線中尋找，若圖中不存在這樣的直線，則借助中點(diǎn)、高線與添加輔助線解決．求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．再利用解三角形的辦法求解．對于本題，也可以建立空間坐標(biāo)系，利用空間向量進(jìn)行求解和證明．