如圖1,矩形中,,,、分別為、邊上的點,且,,將沿折起至位置(如圖2所示),連結(jié)、,其中.

(Ⅰ)求證:平面；

(Ⅱ)在線段上是否存在點使得平面?若存在,求出點的位置；若不存在,請說明理由.

(Ⅲ)求點到平面的距離.

 

【答案】

(Ⅰ)答案詳見解析；(Ⅱ)存在，；(Ⅲ) .

【解析】

試題分析：(Ⅰ)三角形和三角形中，各邊長度確定，故可利用勾股定理證明垂直關(guān)系

，進(jìn)而由線面垂直的判定定理可證明平面；(Ⅱ)要使得平面，只需，因為，故；(Ⅲ)點到平面的距離，就是點到平面垂線段的長度，如果垂足位置不易確定，可考慮等體積轉(zhuǎn)化，該題中點到面的距離確定，故可利用求點到平面的距離.

試題解析：(Ⅰ)連結(jié),由翻折不變性可知,,,在中,,所以， 在圖中,易得,

在中,,所以，又,平面,平面,所以平面.

(Ⅱ)當(dāng)為的三等分點(靠近)時,平面.證明如下:

因為,,所以 ， 又平面,平面,所以平面.

(Ⅲ) 由(Ⅰ)知平面,所以為三棱錐的高.

設(shè)點到平面的距離為,由等體積法得, 即,又,, 所以, 即點到平面的距離為.

考點：1、直線和平面垂直的判定定理；2、直線和平面平行的判定定理；3、點到平面的距離.

 

練習(xí)冊系列答案
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精英家教網(wǎng)某車間為了制作某個零件，需從一塊扇形的鋼板余料（如圖1）中按照圖2的方式裁剪一塊矩形鋼板ABCD，其中頂點B、C在半徑ON上，頂點A在半徑OM上，頂點D在
NM
上，∠MON=
π
6
，ON=OM=1．設(shè)∠DON=θ，矩形ABCD的面積為S．
（Ⅰ）用含θ的式子表示DC、OB的長；
（Ⅱ）試將S表示為θ的函數(shù)；
（Ⅲ）求S的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2007•崇文區(qū)二模）如圖1 矩形ABCD中，AB=6，BC=2
3
，沿對角線BD將三角形ABD向上折起，使點A移動到點P，使點P在平面BCD上的射影在DC上（如圖2）．

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（Ⅱ）求二面角P-DB-C的大小的正弦值；
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分別為線段的中點, ⊥平面.

(1) 求證: ∥平面；

(2) 求證:平面⊥平面；

(3) 若, 求三棱錐的

體積.

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（本小題滿分14分）

1．（本題滿分14分）如圖，矩形中，，，

為上的點，且，．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：平面；（Ⅲ）求三棱錐的體積．

 

 

 

 

 

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