【題目】如圖，橢圓的左右焦點(diǎn)、恰好是等軸雙曲線的左右頂點(diǎn)，且橢圓的離心率為，是雙曲線上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，直線和與橢圓的交點(diǎn)分別記為、和、．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線、的斜率分別為、，求證：為定值；

（3）若存在點(diǎn)滿足，試求的大小．

【答案】（1）；（2）定值為，見解析；（3）.

【解析】

（1）設(shè)橢圓的焦距為，由題意得出，由橢圓的離心率可計(jì)算出，進(jìn)而求出的值，由此可得出橢圓的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)，可得出，再結(jié)合斜率公式可計(jì)算出的值；

（3）設(shè)直線的方程為，可得出直線的方程為，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和弦長公式計(jì)算出，同理得出，利用平面向量數(shù)量積的定義得出，計(jì)算出，即可得出的大小.

（1）設(shè)橢圓的焦距為，由題意知，，，

又離心率，，故，則橢圓的方程為；

（2）設(shè)，則，可得，

由此（定值）；

（3）由（2）知，設(shè)直線的方程為，則直線方程為，

聯(lián)立消去，得：，

記，，則，，

，同理，

.

由題意：，

故，.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．

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（2）當(dāng)時，恒成立，求的取值范圍．

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【題目】已知橢圓的左、右兩個焦點(diǎn)分別為，離心率，短軸長為2.

（1）求橢圓的方程；

（2）點(diǎn)為橢圓上的一動點(diǎn)（非長軸端點(diǎn)），的延長線與橢圓交于點(diǎn)， 的延長線與橢圓交于點(diǎn)，求面積的最大值.

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（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）試問直線是否恒過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，請求出定點(diǎn)坐標(biāo)．

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系的極坐標(biāo)方程為，直線l的參數(shù)方程為，（其中為參數(shù)）直線l與交于A，B兩個不同的點(diǎn)．

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【題目】如圖，在三棱錐中，已知都是邊長為的等邊三角形，為中點(diǎn)，且平面，為線段上一動點(diǎn)，記．

（1）當(dāng)時，求異面直線與所成角的余弦值；

（2）當(dāng)與平面所成角的正弦值為時，求的值．

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（2）求證：平面平面．

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【題目】制訂投資計(jì)劃時，不僅要考慮可能獲得的盈利，而且要考慮可能出現(xiàn)的虧損.某投資人打算投資甲、乙兩個項(xiàng)目.根據(jù)預(yù)測，甲、乙項(xiàng)目可能的最大盈利分別為和，可能的最大虧損率分別為和.投資人計(jì)劃投資金額不超過億元，要求確保可能的資金虧損不超過億元，問投資人對甲、乙兩個項(xiàng)目各投資多少億元，才能使可能的盈利最大？

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（2）設(shè)點(diǎn)，直線與橢圓交于兩個不同點(diǎn)M，N，直線AM與x軸交于點(diǎn)E，直線AN與x軸交于點(diǎn)F，若.求證：直線l經(jīng)過定點(diǎn).

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