已知在四棱錐P一ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分別是AB、PD的中點(diǎn)。

（Ⅰ）求證：AF∥平面PEC；

（Ⅱ）求PC與平面ABCD所成角的正切值；

（Ⅲ）求二面角P一EC一D的正切值。

 


解：（Ⅰ）取PC的中點(diǎn)O，連結(jié)OF、

 OE．∴FO∥DC，且FO=DC  ∴FO∥AE

又E是AB的中點(diǎn)．且AB=DC．∴FO=AE．

∴四邊形AEOF是平行四邊形．∴AF∥OE  又OE平面PEC，AF平面PEC  ∴AF∥平面PEC

（Ⅱ）連結(jié)AC

∵PA⊥平面ABCD，∴∠PCA是直線(xiàn)PC與平

面ABCD所成的角

在Rt△PAC中，即直線(xiàn)PC與平面ABCD所成的角正切為

（Ⅲ）作AM⊥CE，交CE的延長(zhǎng)線(xiàn)于M．連結(jié)PM，由三垂線(xiàn)定理．得PM⊥CE∴∠PMA是二面角P—EC—D的平面角 

由△AME∽△CBE，可得，∴

∴二面角P一EC一D的正切為

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（Ⅰ）求證：AF∥平面PEC；
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（Ⅲ）求二面角P-EC-D的正切值．

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