如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,D為側(cè)棱PC的中點(diǎn),它的正(主)視圖和側(cè)(左)視圖如圖所示.
(1)證明:AD⊥平面PBC.
(2)求三棱錐D-ABC的體積.
(3)在∠ACB的平分線(xiàn)上確定一點(diǎn)Q,使得PQ∥平面ABD,并求此時(shí)PQ的長(zhǎng).
(1)因?yàn)镻A⊥平面ABC,所以PA⊥BC,
又AC⊥BC,PA∩AC=C,所以BC⊥平面PAC,所以BC⊥AD.由三視圖可得,在△PAC中,PA=AC=4,且D為PC中點(diǎn),所以AD⊥PC,又BC∩PC=C,
所以AD⊥平面PBC.
(2)由三視圖可得BC=4,
由(1)知∠ADC=90°,BC⊥平面PAC,
又三棱錐D-ABC的體積即為三棱錐B-ADC的體積,
所以,所求三棱錐的體積V=××2×2×4=.
(3)取AB的中點(diǎn)O,連接CO并延長(zhǎng)至Q,使得CQ=2CO,點(diǎn)Q即為所求.
連接OD,PQ,AQ,BQ,
因?yàn)镺為CQ中點(diǎn),所以PQ∥OD,
因?yàn)镻Q⊄平面ABD,OD⊂平面ABD,所以PQ∥平面ABD,
四邊形ACBQ的對(duì)角線(xiàn)互相平分,
所以ACBQ為平行四邊形,所以AQ=4,又PA⊥平面ABC,
所以在直角△PAQ中,PQ==4.
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