Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足：S_n+a_n=n（n=1，2，3…）．
（1）求a₁，并證明：數(shù)列{a_n-1}為等比數(shù)列；
（2）設(shè)b_n=（2-n）（a_n-1）（n=1，2，3…），如果對(duì)任意n∈N^*，b_n≤t²-

1

4

t，求t的范圍；
（3）記C_n=-

1

an-1

試問(wèn){C_n}中是否存在一項(xiàng)C_k，使得C_k恰好可以表示為該數(shù)列中連續(xù)P（P∈N，P≥2）項(xiàng)的和？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：等比關(guān)系的確定,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用S_n+a_n=n，得S_n+1+a_n+1=n+1，兩式相減，整理可得數(shù)列{a_n-1是以-

1

2

為首項(xiàng)，以

1

2

為公比的等比數(shù)列；
（2）先確定b_n=（2-n）（a_n-1）的，通項(xiàng)公式，再利用b_n+1-b_n，確定b_n有最大值b，可求實(shí)數(shù)t的取值范圍．
（3）求出C_n的表達(dá)式，利用反證法即可證明結(jié)論是否成立．

解答： 解：（1）由題可知：S_n+a_n=n，①
S_n+1+a_n+1=n+1，②
②-①可得2a_n+1-a_n=1       
即a_n+1-1=

1

2

（a_n-1），
又a₁-1=-

1

2

，
∴數(shù)列{a_n-1是以-

1

2

為首項(xiàng)，以

1

2

為公比的等比數(shù)列．
（2）由（1）可得a_n=1-(

1

2

)n，
∴b_n=（2-n）（a_n-1）=

n-2

2n

，
由b_n+1-b_n=

n+1-2

2n+1

-

n-2

2n

=

3-n

2n+1

＞0，可得n＜3，
由b_n+1-b_n＜0可得n＞3，
即b₁＜b₂＜b₃=b₄，b₄＞b₅＞…＞b_n＞…，
故b_n有最大值b₃=b₄=

1

8

，
∴對(duì)任意n∈N^*，都有b_n+

1

4

t≤t²，等價(jià)于對(duì)任意n∈N^*，都有

1

8

≤t²-

1

4

t成立，
∴t²-

1

4

t-

1

8

≥0，
解得t≥

1

2

或t≤-

1

4

，
∴實(shí)數(shù)t的取值范圍是（-∞，-

1

4

]∪[

1

2

，+∞）；
（3）由（1）得：C_n=-

1

an-1

=2ⁿ，
設(shè){C_k}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn=2ⁿ⁺¹-1，
假設(shè)存在C_k滿足（3）中條件，則存在正整數(shù)m，使得S（m+P）-Sm=2^m+1（2^P-1）=2^k=C_k成立，
即存在m，使2^P-1=2^k-m-1成立，
而2^P-1為大于3的奇數(shù)，2^k-m-1只有1和偶數(shù)兩種情況出現(xiàn)，兩者沒(méi)有交集不可能相等．
∴假設(shè)不成立．
∴{C_n}中不存在滿足條件（3）的項(xiàng)C_k．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列遞推式，考查等比數(shù)列的證明，考查恒成立問(wèn)題，確定數(shù)列的通項(xiàng)，求出數(shù)列的最大值是解題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．