Question

已知橢圓的左頂點(diǎn)為A，左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，且圓C：過A，F(xiàn)₂兩點(diǎn)．
（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)的方程；
（2）設(shè)直線PF₂的傾斜角為α，直線PF₁的傾斜角為β，當(dāng)β-α=時(shí)，證明：點(diǎn)P在一定圓上；
（3）設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為Q，證明：PQ=PF₁+PF₂．

Answer 1

【答案】分析：（1）由圓C：確定A，F(xiàn)₂兩點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得橢圓方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P（x，y），因?yàn)镕₁（-，0），F(xiàn)₂（，0），則可求，，利用β-α=，及差角的正切公式，即可證得結(jié)論；
（3）利用兩點(diǎn)間的距離公式，計(jì)算|PQ|²=12-4y，計(jì)算出（|PF₁|+|PF₂|）²，即可得到結(jié)論．
解答：（1）解：圓與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，，
故，所以b=3，
∴橢圓方程是：．
（2）證明：設(shè)點(diǎn)P（x，y），因?yàn)镕₁（-，0），F(xiàn)₂（，0），則=tanβ=，=tanα=，
因?yàn)棣?α=，所以tan（β-α）=-．
因?yàn)閠an（β-α）==，所以=-．
化簡得x²+y²-2y=3．
所以點(diǎn)P在定圓x²+y²-2y=3上．
（3）證明：∵|PQ|²=x²+（y-3）²=x²+y²-6y+9，x²+y²=3+2y，∴|PQ|²=12-4y．
又|PF₁|²=（x+）²+y²=2y+6+2x，|PF₂|²=（x-）²+y²=2y+6-2x，
∴2|PF₁|×|PF₂|=2=4，
因?yàn)?x²=9-3y²+6y，所以2|PF₁|×|PF₂|=4，
∵β=α+＞，又點(diǎn)P在定圓x²+y²-2y=3上，∴y＜0，
所以2|PF₁|×|PF₂|=-8y，
從而（|PF₁|+|PF₂|）²=|PF₁|²+2|PF₁|×|PF₂|+|PF₂|²=4y+12-8y=12-4y=|PQ|²．
所以|PQ|=|PF₁|+|PF₂|．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查差角的正切公式，考查距離公式，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．