Question

已知在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c． 
（1）若角A，B，C成等差數(shù)列，且sinAsinC=

2

2

，求tanAtanC的值； 
（2）若△ABC的三邊長(zhǎng)a，b，c是某個(gè)等差數(shù)列中的連續(xù)三項(xiàng)，且∠A≥120°，試用邊a表示公差d的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用,余弦定理

專題：三角函數(shù)的求值,解三角形

分析：（1）利用三角函數(shù)的恒等變換求出結(jié)果．
（2）利用余弦定理及等差中項(xiàng)求出相關(guān)的關(guān)系式，進(jìn)一步求出結(jié)果．

解答： 解：（1）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c． 若角A，B，C成等差數(shù)列，
則：A+C=120°，
則：tan（A+C）=

tanA+tanC

1-tanA•tanC

，
整理得：

3

tanAtanC-

3

=tanA+tanC=

sinA

cosA

+

sinC

cosC

．
所以：

3

tanAtanC-

3

=

sinAcosC+cosAsinC

cosAcosC

=

sinAcosC+cosAsinC

sinA tanA • sinC tanC

，

2

tanAtanC-

2

=tanAtanC．
所以：tanAtanC=2+

2

，
（2）△ABC的三邊長(zhǎng)a，b，c是某個(gè)等差數(shù)列中的連續(xù)三項(xiàng)，
設(shè)b=a+d，c=a+2d，
根據(jù)∠A≥120°，
則：

(a+d)2+(a+2d)2-a2

2(a+d)(a+2d)

≤-

1

2

，
則：（2a+7d）（a+d）≤0，
解得：-a≤d≤-

2

7

a．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角關(guān)系式的恒等變換，余弦定理的應(yīng)用，等差中項(xiàng)的應(yīng)用及相關(guān)的運(yùn)算問題，屬于基礎(chǔ)題型．