Question

已知sin（α+β）=1，求證：tan（2α+β）+tanβ=0．[提示：注意角的變換：2α+β=2（α+β）-β]．

Answer 1

考點(diǎn)：二倍角的正切,兩角和與差的正切函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：由于sin（α+β）=1，可得cos（α+β）=0．利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、兩角和差的正弦公式、倍角公式可得tan（2α+β）+tanβ=

sin(2α+β)

cos(2α+β)

+

sinβ

cosβ

=

sin(2α+2β)

cos(2α+β)cosβ

=

2isn(α+β)cos(α+β)

cos(2α+β)cosβ

即可證明．

解答： 證明：∵sin（α+β）=1，
∴cos（α+β）=0．
∴tan（2α+β）+tanβ=

sin(2α+β)

cos(2α+β)

+

sinβ

cosβ

=

sin(2α+β)cosβ+cos(2α+β)sinβ

cos(2α+β)cosβ

=

sin(2α+2β)

cos(2α+β)cosβ

=

2isn(α+β)cos(α+β)

cos(2α+β)cosβ

=0．
∴tan（2α+β）+tanβ=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、兩角和差的正弦公式、倍角公式、特殊角的三角函數(shù)值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．