Question

已知函數(shù)f(x)=

mx3

3

+ax2+(1-b2)x，m，a，b∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）；
（Ⅱ）當(dāng)m=1時，若函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)，求z=a+b的最小值；
（Ⅲ）當(dāng)a=1，b=

2

時，函數(shù)f（x）在（2，+∞）上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）直接運用導(dǎo)數(shù)公式進(jìn)行求導(dǎo)；
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)，轉(zhuǎn)化成f'（x）≥0在R上恒成立．建立a，b的約束條件，利用參數(shù)方程求a+b的最小值；
（3）討論m的范圍，當(dāng)m≥0時顯然成立，當(dāng)m＜0時，要使f'（x）在（2，+∞）上存在子區(qū)間使f'（x）＞0，應(yīng)滿足m＜0，
-

1

m

≥2，再結(jié)合圖象建立不等關(guān)系即可．

解答：解：
（Ⅰ）f'（x）=mx²+2ax+（1-b²）．（3分）
（Ⅱ）因為函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)，所以f'（x）≥0在R上恒成立．
則有△=4a²-4（1-b²）≤0，即a²+b²≤1．
設(shè)

a=rcosθ b=rsinθ

（θ為參數(shù)，0≤r≤1），
則z=a+b=r（cosθ+sinθ）=

2

，sin(θ+

π

4

)．
當(dāng)sin(θ+

π

4

)=-1，且r=1時，z=a+b取得最小值-

2

．
（Ⅲ）=1 ①當(dāng)m＞0時，f'（x）=mx²+2x-1是開口向上的拋物線，
顯然f'（x）在（2，+∞）上存在子區(qū)間使得f'（x）＞0，所以m的取值范圍是（0，+∞）．
②當(dāng)m=0時，顯然成立．
③當(dāng)m＜0時，f'（x）=mx²+2x-1是開口向下的拋物線，
要使f'（x）在（2，+∞）上存在子區(qū)間使f'（x）＞0，應(yīng)滿足m＜0，
-

1

m

≥2，
f′(-

1

m

)＞0，或

m＜0 - 1 m ＜2 f′(2)＞0

解得-

1

2

≤m＜0，或-

3

4

＜m＜-

1

2

，所以m的取值范圍是(-

3

4

，0)．
則m的取值范圍是(-

3

4

，+∞)．（13分）

點評：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的運算，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和簡單線性規(guī)劃求最值，屬于中檔題．