設(shè)直線l1:y=k1x+1,l2:y=k2x-1,其中實(shí)數(shù)k1,k2滿足k1k2+2=0.證明l1與l2的交點(diǎn)在橢圓2x2+y2=1上.
分析:將兩直線方程聯(lián)立,求出交點(diǎn)坐標(biāo),利用已知條件,將交點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程左側(cè),若滿足方程,則得到證明點(diǎn)在線上.
解答:證明:由方程組
y=k1x+1
y=k2x-1

解得交點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y)為
x=
2
k2-k1
y=
k2+k1
k2-k1
.

2x2+y2=2(
2
k2-k1
)2+(
k2+k1
k2-k1
)2=
8+
k
2
2
+
k
2
1
+2k1k2
k
2
2
+
k
2
1
-2k1k2
=
k
2
1
+
k
2
2
+4
k
2
1
+
k
2
2
+4
=1

此即表明交點(diǎn)P(x,y)在橢圓2x2+y2=1上.
點(diǎn)評(píng):本題考查兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)、考查通過解兩條直線方程構(gòu)成的方程組求出兩條直線的交點(diǎn)的坐標(biāo).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓┍的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-a,b).
(1)若直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn)M、A(0,-b),B(a,0)滿足
PM
=
1
2
PA
+
PB
),求點(diǎn)M的坐標(biāo);
(2)設(shè)直線l1:y=k1x+p交橢圓┍于C、D兩點(diǎn),交直線l2:y=k2x于點(diǎn)E.若k1•k2=-
b2
a2
,證明:E為CD的中點(diǎn);
(3)對(duì)于橢圓┍上的點(diǎn)Q(a cosθ,b sinθ)(0<θ<π),如果橢圓┍上存在不同的兩個(gè)交點(diǎn)P1、P2滿足
PP1
+
PP2
=
PQ
,寫出求作點(diǎn)P1、P2的步驟,并求出使P1、P2存在的θ的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓Γ的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,A(0,b)、B(0,-b)和Q(a,0)為Γ的三個(gè)頂點(diǎn).
(1)若點(diǎn)M滿足
AM
=
1
2
(
AQ
+
AB
)
,求點(diǎn)M的坐標(biāo);
(2)設(shè)直線l1:y=k1x+p交橢圓Γ于C、D兩點(diǎn),交直線l2:y=k2x于點(diǎn)E.若k1k2=-
b2
a2
,證明:E為CD的中點(diǎn);
(3)設(shè)點(diǎn)P在橢圓Γ內(nèi)且不在x軸上,如何構(gòu)作過PQ中點(diǎn)F的直線l,使得l與橢圓Γ的兩個(gè)交點(diǎn)P1、P2滿足
PP1
+
PP2
=
PQ
PP1
+
PP2
=
PQ
?令a=10,b=5,點(diǎn)P的坐標(biāo)是(-8,-1),若橢圓Γ上的點(diǎn)P1、P2滿足
PP1
+
PP2
=
PQ
,求點(diǎn)P1、P2的坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)直線l1:y=k1x+1,l2:y=k2x-1,其中實(shí)數(shù)k1,k2滿足k1k2+1=0.
(Ⅰ)證明:直線l1與l2相交;
(Ⅱ)證明:直線l1與l2的交點(diǎn)在圓x2+y2=1上.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•青浦區(qū)一模)設(shè)直線L1:y=k1x+p,p≠0交橢圓Γ:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)于C、D兩點(diǎn),交直線L2:y=k2x于點(diǎn)E.
(1)若E為CD的中點(diǎn),求證:k1k2=-
b2
a2
;
(2)寫出上述命題的逆命題并證明此逆命題為真;
(3)請(qǐng)你類比橢圓中(1)、(2)的結(jié)論,寫出雙曲線中類似性質(zhì)的結(jié)論(不必證明).

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案