Question

求函數(shù)f（x）=

2xlnx

1-x2

的最小值．

Answer 1

考點：函數(shù)的值域

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：先求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，再令g（x）=lnx-

x2-1

x2+1

，對g（x）求導(dǎo)，得出f（x）的單調(diào)區(qū)間，得出f（1）是最小值，而x=1不在定義域，求極限即可．

解答： 解：∵f（x）=

2xlnx

1-x2

，
∴f（x）=

2(1+x2)lnx+2(1-x2)

(1-x2)2

，
令f′（x）=0，得：lnx=

x2-1

x2+1

，
設(shè)g（x）=lnx-

x2-1

x2+1

，
顯然函數(shù)g（x）有一個零點x=1，
對函數(shù)g（x）求導(dǎo)得：
g′（x）=

1

x

-

4x

(x2+1)2

=

(x2-1)2

x(x2+1)2

≥0，
當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立，（x＞0）．
∴函數(shù)g（x）在其定義域上單調(diào)遞增，
∴x=1為函數(shù)f（x）唯一駐點，
∵函數(shù)g（x）在x＞0時單調(diào)遞增，且在x=1時g（1）=0，
∴在（0，1）上，g（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
在（1，+∞）上，g（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
∴f（x）_min=f（1），
很明顯，f（x）的定義域不包含1，
故求出

lim

x→1

f（x）即可，
由洛必達法則得：

lim

x→1

f（x）=

lim

x→1

2xlnx

1-x2

=

lim

x→1

2lnx+2

-2x

=

lim

x→1

（-lnx-1）
=-1．

點評：本題屬于求函數(shù)的值域問題，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，確定函數(shù)取最小值的x的范圍，由于x=1不在定義域內(nèi)，需用到洛必達法則．