Question

已知函數(shù)

（Ⅰ）設(shè)為函數(shù)的極值點，求證: ；

（Ⅱ）若當時，恒成立，求正整數(shù)的最大值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）正整數(shù)的最大值為．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）設(shè)為函數(shù)的極值點，只需對求導，讓它的導函數(shù)在處的值為零，這樣得到的關(guān)系式，從而證明；（Ⅱ）當時，恒成立，求正整數(shù)的最大值，這是恒成立問題，解這類為題，只需分離參數(shù)，把含有參數(shù)放到不等式一邊，不含參數(shù)放到不等式的另一邊，轉(zhuǎn)化為求不含參數(shù)一邊的最大值或最小值即可，本題分離參數(shù)得，不等式的右邊就是，這樣轉(zhuǎn)化為求的最小值問題，由于帶有對數(shù)函數(shù)，需用極值法求最值，只需對求導，得，令時，即，無法解方程，可令，判斷單調(diào)性，利用根的存在性定理來確定根的范圍，從而求解．

試題解析：（Ⅰ）因為，故,  為函數(shù)的極值點,, 即,于是,故 ；

 （Ⅱ） 恒成立,分離參數(shù)得 ，則時，恒成立，只需，，記，，  在上遞增，又，在上存在唯一的實根， 且滿足， 當時，即；當時，即,,故正整數(shù)的最大值為．

考點：本題函數(shù)與導數(shù)，導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、導數(shù)與函數(shù)的極值，根的存在性定理，學生的基本推理能力，及基本運算能力以及轉(zhuǎn)化與化歸的能力.