Question

如圖：已知四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，PD=AD，
（1）求證：AC⊥面PDB；
（2）求二面角P-AC-D的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）連結(jié)AC，BD，由已知條件推導(dǎo)出AC⊥BD，AC⊥PD，由此能證明AC⊥面PDB．
（2）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角P-AC-D的正切值．

解答： （1）證明：連結(jié)AC，BD，
∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥PD，
∵PD∩BD=D，
∴AC⊥面PDB．
（2）解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PD=AD=1，
則A（1，0，0），C（0，1，0），P（0，0，1），
∴

PA

=(1，0，-1)，

PC

=(0，1，-1)，
設(shè)平面PAC的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • PA =x-z=0 n • PC =y-z=0

，
取x=1，得

n

=（1，1，1），
又平面ADC的法向量

m

=(0，0，1)，
設(shè)二面角P-AC-D的平面角為θ，
cosθ=cos＜

m

，n＞=

1

3

=

3

3

，
∴sinθ=

1-( 3 3 )2

=

6

3

，
∴tanθ=

sinθ

cosθ

=

2

．
∴二面角P-AC-D的正切值為

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的正切值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．