Question

如圖，四棱錐中，底面為梯形，，，，平面平面，．

（1）求證：平面；
（2）求證：；
（3）是否存在點，到四棱錐各頂點的距離都相等？并說明理由.

Answer 1

（1）參考解析；（2）參考解析；（3）存在

試題分析：（1）線面平面平行的證明，關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到一條直線與要證明的直線平行，根據(jù)，再根據(jù)直線BC，直線AD的位置關(guān)系，即可得線面平行.線面平行還有一種就是轉(zhuǎn)化為面面平行.線面平行的證明就是這兩種判斷的相互轉(zhuǎn)化.
（2）要證線線垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，由題意可知，通過證明直線AC垂直于平面PAB，由面面垂直可知，只需證明直線AC垂直于AB，在三角形ABC中，由所給條件即可得到AC垂直于AB.
（3）由（2）可知直線PB垂直于平面PAC.所以可得直線PB垂直于直線PC.通過三角形的BCD全等于三角形CBA，所以可得直線BD垂直于DC.所以BC是的斜邊，即BC的中點就是所要找的Q點.
試題解析：（1）證明：底面為梯形，，
又平面，平面，
所以平面.
（2）證明：設(shè)的中點為，連結(jié)，在梯形中，

因為 ，，
所以 為等邊三角形，，
又 ，
所以 四邊形為菱形.
因為，，
所以，
所以，，
又平面平面，是交線，
所以 平面，
所以 ，即.
（3）解：因為 ，，所以平面.
所以，，
所以 為直角三角形，.
連結(jié)，由（2）知，
所以 ，
所以 為直角三角形，.
所以點是三個直角三角形：、和的共同的斜邊的中點，
所以 ，
所以存在點（即點）到四棱錐各頂點的距離都相等.