Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=0，a₂=2，，
（I）求a₃，a₄，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）設(shè)S_k=a₁+a₃+…+a_2k-1，T_k=a₂+a₄+…+a_2k，，求使W_k＞1的所有k的值，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意知，a₄=（1+cos²π）a₂+4sin²π=2a₂=4，一般地，當(dāng)n=2k-1（k∈N^*）時(shí)，a_2k+1-a_2k-1=4．因此a_2k-1=4（k-1）．當(dāng)n=2k（k∈N^*）時(shí)，a_2k=2^k．由此可知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為．
（II）由題設(shè)知，S_k=a₁+a₃++a_2k-1=0+4++4（k-1）=2k（k-1），T_k=a₂+a₄++a_2k=2+2²+2^k=2^k+1-2，
由此可知當(dāng)k≥6時(shí)，W_k+1＜W_k．滿足W_k＞1的所有k的值為3，4，5．
解答：解：（I）因?yàn)閍₁=0，a₂=2，所以，a₄=（1+cos²π）a₂+4sin²π=2a₂=4，一般地，當(dāng)n=2k-1（k∈N^*）時(shí)，，
即a_2k+1-a_2k-1=4．所以數(shù)列{a_2k-1}是首項(xiàng)為0、公差為4的等差數(shù)列，
因此a_2k-1=4（k-1）．
當(dāng)n=2k（k∈N^*）時(shí)，，
所以數(shù)列{a_2k}是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)列，因此a_2k=2^k．
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為

（II）由（I）知，S_k=a₁+a₃++a_2k-1=0+4++4（k-1）=2k（k-1），T_k=a₂+a₄++a_2k=2+2²+2^k=2^k+1-2，
于是W₁=0，W₂=1，，，，．
下面證明：當(dāng)k≥6時(shí)，W_k＜1．事實(shí)上，當(dāng)k≥6時(shí)，，
即W_k+1＜W_k．
又W₆＜1，所以當(dāng)k≥6時(shí)，W_k＜1．
故滿足W_k＞1的所有k的值為3，4，5．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．