Question

P是邊長(zhǎng)為1的正六邊形ABCDEF所在平面外一點(diǎn)，PA＝1，P在平面ABC內(nèi)的射影為BF的中點(diǎn)O．

(Ⅰ)證明PA⊥BF．

(Ⅱ)求面APB與面DPB所成二面角的大小．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)在正六邊形ABCDEF中，△ABF為等腰三角形， 　　∵P在平面ABC內(nèi)的射影為O，∴PO⊥平面ABF，∴AO為PA在平面ABF內(nèi)的射影； 　　∵O為BF中點(diǎn)，∴AO⊥BF，∴PA⊥BF． 　　(Ⅱ)∵PO⊥平面ABF， 　　∴平面PBF⊥平面ABC；而O為BF中點(diǎn)，ABCDEF是正六邊形，∴A、O、D共線，且直線AD⊥BF，則AD⊥平面PBF；又∵正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為1， 　　∴AO＝，DO＝，BO＝． 　　過(guò)O在平面POB內(nèi)作OH⊥PB于H，連AH、DH，則AH⊥PB，DH⊥PB，所以∠AHD為所求二面角的平面角． 　　在△AHO中，OH＝，tan∠AHO＝． 　　在△DHO中，tan∠DHO＝； 　　而tan∠AHD＝tan(∠AHO＋∠DHO)＝．

提示：

本題主要考查空間線線、線面、面面位置關(guān)系，同時(shí)考查空間想象能力及邏輯思維能力．