Question

2．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為BC₁的中點，則DE與面BCC₁B₁所成角的正切值為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 以D為原點，以DA為x軸，以DC為y軸，以DD₁為z軸，建立空直角坐標系，利用向量法能求出DE與面BCC₁B₁所成角的正切值．

解答 解：設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，
以D為原點，以DA為x軸，以DC為y軸，
以DD₁為z軸，建立空直角坐標系，
∵E為BC₁的中點，
∴D（0，0，0），E（1，2，1），
∴$\overrightarrow{DE}$=（1，2，1），
設(shè)DE與面BCC₁B₁所成角的平面角為θ，
∵面BCC₁B₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
∴sinθ=|cos＜$\overrightarrow{DE}$，$\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{2}{\sqrt{6}}$|=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴cosθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴tanθ=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題考查直線與平面所成角的正切值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．