已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，斜率為1且過橢圓右焦點(diǎn)F（2，0）的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，
OA
+
OB
與
a
=(3，-1)共線，則該橢圓的長半軸長為
6
6
．
分析：設(shè)橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1，與直線AB的方程消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），利用韋達(dá)定理算出x1+x2=
4a2
a2+b2
．由
OA
+
OB
與
a
=(3，-1)共線，得3（y1+y2）+（x1+x2）=0，結(jié)合直線AB方程解出x1+x2=3，代入前面的式子得到關(guān)于a、b的方程組，解之可得a、b之值，即可得到該橢圓的長半軸長．
解答：解：設(shè)橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）
∵直線AB的斜率為1且過橢圓右焦點(diǎn)F（2，0），
∴直線AB的方程為y=x-2，
代入橢圓方程消去y，化簡得（a2+b2）x2-4a2x+4a2-a2b2=0．
令A(yù)（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=
4a2
a2+b2
，x1•x2=
4a2-a 2b2
a2+b2
．
∵
OA
+
OB
=（x1+x2，y1+y2），
OA
+
OB
與
a
=(3，-1)共線，
∴3（y1+y2）+（x1+x2）=0，
結(jié)合y1=x1-2且y2=x2-2，化簡得3（x1+x2-4）+（x1+x2）=0，解之得x1+x2=3．
即
4a2
a2+b2
=3，解之得a2=3b2．
又∵a2-b2=c2=4，∴a2-
1
3
a2=4，解之得a=
6
，即該橢圓的長半軸長為
6
．
故答案為：
6
點(diǎn)評：本題給出橢圓滿足的條件，求橢圓的長半軸的值．著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)、向量共線的條件和直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，斜率為1且過橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，
OA
+
OB
與
a
=（3，-1）共線．
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn)，且
OM
=λ
OA
+μ
OB
(λ，μ∈R)，證明λ2+μ2為定值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，橢圓短半軸長為1，動點(diǎn)M（2，t）（t＞0）在直線x=
a2c
（a為長半軸，c為半焦距）上．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
（2）求以O(shè)M為直徑且被直線3x-4y-5=0截得的弦長為2的圓的方程；
（3）設(shè)F是橢圓的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F作OM的垂線與以O(shè)M為直徑的圓交于點(diǎn)N，求證：線段ON的長為定值，并求出這個定值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，橢圓短半軸長為1，動點(diǎn)M（2，t）（t＞0）在直線x=
a2c
（a為長半軸，c為半焦距）上．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求以O(shè)M為直徑且被直線3x-4y-5=0截得的弦長為2的圓的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，斜率為1且過橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，
OA
+
OB
與
a
=(3，-1)共線，則該橢圓的離心率為（　�。�
A、
5
3
B、
3
2
C、
6
3
D、
2
2
3

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案