Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2acoskπ•lnx（k∈N^*，a∈R，且a＞0）．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若k=2010，關(guān)于x的方程f（x）=2ax有唯一解，求a的值．

Answer 1

【答案】分析：對（1）要先對函數(shù)求導(dǎo)，然后分k為奇偶數(shù)討論導(dǎo)函數(shù)大于和小于零時的自變量范圍，由此即可獲得解答；
對（2）利用k=2010先將方程化簡，從而得到函數(shù)g（x）=f（x）-2ax=x²-2axlnx-2ax有唯一的零點，進而將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點問題，然后利用導(dǎo)數(shù)知識分析單調(diào)性，從而結(jié)合求解即可．
解答：解：（1）由已知得x＞0且．
當(dāng)k是奇數(shù)時，f′（x）＞0，則f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
當(dāng)k是偶數(shù)時，則．
所以當(dāng)x∈時，f′（x）＜0，
當(dāng)x∈（，+∞）時，f′（x）＞0．
故當(dāng)k是偶數(shù)時，f（x）在上是減函數(shù)，
在（，+∞）上是增函數(shù)．
（2）若k=2010，則f（x）=x²-2alnx（k∈N^*）．
記g（x）=f（x）-2ax=x²-2axlnx-2ax，
，
若方程f（x）=2ax有唯一解，即g（x）=0有唯一解；
令g'（x）=0，得x²-ax-a=0．因為a＞0，x＞0，
所以（舍去），
．
當(dāng)x∈（0，x₂）時，g′（x）＜0，g（x）在（0，x₂）是單調(diào)遞減函數(shù)；
當(dāng)x∈（x₂，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)．
當(dāng)x=x₂時，g'（x₂）=0，g（x）_min=g（x₂）．
因為g（x）=0有唯一解，所以g（x₂）=0．
則即
兩式相減得alnx₂+ax₂-a=0，因為a＞0，所以2lnx₂+x₂-1=0（*）．
設(shè)函數(shù)h（x）=2lnx+x-1，
因為在x＞0時，h（x）是增函數(shù)，所以h（x）=0至多有一解．
因為h（1）=0，所以方程（*）的解為x₂=1，從而解得．
點評：本題考查的是函數(shù)與方程的綜合類問題．在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想、分類討論的思想以及求導(dǎo)的知識．綜合應(yīng)用性強，值得同學(xué)們體會反思．