Question

如圖，圓錐頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，其母線(xiàn)與底面所成的角為22.5°，AB和CD是底面圓O上的兩條平行的弦，軸OP與平面PCD所成的角為60°.

(1)證明：平面PAB與平面PCD的交線(xiàn)平行于底面；
(2)求cos∠COD.

Answer 1

（1）見(jiàn)解析   （2）17－12

(1)證明 設(shè)平面PAB與平面PCD的交線(xiàn)為l.

因?yàn)锳B∥CD，AB不在平面PCD內(nèi)，所以AB∥平面PCD.
又因?yàn)锳B?平面PAB，平面PAB與平面PCD的交線(xiàn)為l，所以AB∥l.
由直線(xiàn)AB在底面上而l在底面外可知，l與底面平行．
(2)設(shè)CD的中點(diǎn)為F，連接OF，PF.
由圓的性質(zhì)，知∠COD＝2∠COF，OF⊥CD.
因?yàn)镺P⊥底面，CD?底面，所以O(shè)P⊥CD.
又OP∩OF＝O，故CD⊥平面OPF.
又CD?平面PCD，因此平面OPF⊥平面PCD，從而直線(xiàn)OP在平面PCD上的射影為直線(xiàn)PF，故∠OPF為OP與平面PCD所成的角．由題設(shè)，∠OPF＝60°.
設(shè)OP＝h，則OF＝OP·tan∠OPF＝h·tan 60°＝h.
根據(jù)題設(shè)有∠OCP＝22.5°，得
OC＝＝.
由1＝tan 45°＝和tan 22.5°＞0，
可解得tan 22.5°＝－1，
因此OC＝＝(＋1)h.
在Rt△OCF中，cos∠COF＝＝＝－，
故cos∠COD＝cos(2∠COF)＝2cos²∠COF－1＝2(－)²－1＝17－12.