Question

若(1+x+x2)(x+

1

x3

)n(n∈N*)的展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)，則n的可能取值是（　　）

A．7

B．8

C．9

D．10

Answer 1

分析：由題意可得可得（x+x^-3）ⁿ的展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)，且沒(méi)有x^-1項(xiàng)，且沒(méi)有x^-2項(xiàng)．根據(jù)（x+x^-3）ⁿ的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式可得x的冪指數(shù)為n-4r，故n-4r=0無(wú)解，
且n-4r=-1無(wú)解，且n-4r=-2無(wú)解，結(jié)合所給的選項(xiàng)，從而得出結(jié)論．

解答：解：若(1+x+x2)(x+

1

x3

)n(n∈N*)的展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)，可得（x+x^-3）ⁿ的展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)，且沒(méi)有x^-1項(xiàng)，且沒(méi)有x^-2項(xiàng)．
而（x+x^-3）ⁿ的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為 T_r+1=

C

r n

•x^n-r•x^-3r=

C

r n

•x^n-4r，
故n-4r=0無(wú)解，且n-4r=-1無(wú)解，且n-4r=-2無(wú)解．
結(jié)合所給的選項(xiàng)可得，n=9，
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．