Question

已知橢圓：的離心率為，過橢圓的右焦點(diǎn)F且斜率為1的直線交橢圓于兩點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)。

（1）求直線的斜率；

（2）對(duì)于橢圓上的任意一點(diǎn)，試證：總存在，使得等式成立.

 

Answer 1

【答案】

（1）.（2）見解析

【解析】（1）由橢圓的離心率為，得到的關(guān)系，把橢圓的方程化為，設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用跟與系數(shù)的關(guān)系求出點(diǎn)的坐標(biāo)用表示，就得到直線的斜率；（2）根據(jù)平面向量基本定理得有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)使得等式成立，再由點(diǎn)在橢圓上和（1）中的根與系數(shù)求得，然后再證明存在，滿足結(jié)論成立

顯然與是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量,由平面向量的基本定理知,對(duì)于這一平面內(nèi)的向量有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)使得等式成立.

設(shè),由(1)中各點(diǎn)的坐標(biāo)可得,

,又點(diǎn)在橢圓C上,則代入①式,得

,整理可得

      ⑤

由②和④得又A,B兩點(diǎn)在橢圓上,故有

代入⑤并化簡,得.…………………12分

由可得,    又是唯一確定的實(shí)數(shù),并且,

存在角,使得成立,則有,.

若,則存在(R)使得等式成立;

若,由于,于是用代換-,

同樣可證得存在(R)使得等式成立.

綜上所述,對(duì)于橢圓上的任意一點(diǎn)M,總存在(R)使得等式成立