Question

如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC，D為AB的中點(diǎn)，且AB₁⊥A₁C
（1）AB₁⊥A₁D；
（2）證明：BC₁∥平面A₁CD．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）首先利用線面垂直的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化成線線垂直，進(jìn)一步利用線面垂直的判定定理得到線面垂直進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成線線垂直．
（2）直接利用三角形的中位線得到線線平行，利用線面平行的判定定理轉(zhuǎn)化成線面平行．

解答： 證明：（1）如圖，∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，
∴AA₁⊥平面ABC，
又CD?平面ABC，
∴AA₁⊥CD，
由于AA₁∩AB=A，
∴CD⊥平面AB₁，
又AB₁?平面AB₁，CD⊥AB₁，AB₁⊥A₁C，CD∩A₁C=C
所以：AB₁⊥平面A₁CD，
又A₁D?平面A₁CD，
∴AB₁⊥A₁D．
（2）連接AC₁交A₁C于點(diǎn)F，連接C₁B和FD，
∵四邊形A₁ACC₁是平行四邊形，
F是AC₁的中點(diǎn)，D是AB的中點(diǎn)，
∴在△AC₁B中，F(xiàn)D∥BC₁
又BC₁?平面A₁CD，
∴BC₁∥平面A₁CD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，線面平行的判定定理，屬于基礎(chǔ)題型．