Question

【題目】設(shè)動(dòng)圓P(圓心為P)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(0，2)、(t+2，0)、(t－2，0)三點(diǎn)，當(dāng)t變化時(shí)，P的軌跡為曲線C

(1) 求C的方程

(2) 過(guò)點(diǎn)(0，2)且不垂直于坐標(biāo)軸的直線l與C交于A、B兩點(diǎn)，B點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D，求證：直線AD經(jīng)過(guò)定點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）；（2）定點(diǎn)

【解析】分析：（1）設(shè)動(dòng)圓P圓心為，半徑為 依題意的：，消去即可得解；

（2）設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則D(－x2，y2)，令x=0并將，代入，可解得AD的y截距：y0=x1x2，設(shè)直線l：y=kx+2與拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理即可得證.

詳解：（1）設(shè)M(t+2,0)、N(t-2,0)、R(0,2)，

當(dāng)t變化時(shí)，總有MN=4，故圓P被x軸截得的弦長(zhǎng)為4

設(shè)動(dòng)圓P圓心為，半徑為 依題意的：

化簡(jiǎn)整理得：

所以，點(diǎn)P的軌跡C的方程

(2)由對(duì)稱(chēng)性知，直線AD經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)在y軸上

設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則D(－x2，y2)，其中，，

直線AD的方程為：

令x=0并將，代入，可解得AD的y截距：y0=x1x2

設(shè)直線l：y=kx+2，代入拋物線方程，可得：x2－4kx－8=0

所以x1x2=－8，此時(shí)y0=－2

故直線AD過(guò)定點(diǎn)(0, －2)